Номер 9, страница 279 - гдз по физике 10 класс учебник Кабардин, Орлов

9. Четыре одинаковых заряда $\text{q}$ расположены на плоскости в вершинах квадрата и удерживаются в равновесии связывающими их, не проводящими ток нитями (см. рис.). Натяжение нитей $T = 7,6 \cdot 10^{-3}$ Н. Чему равна сила $\text{F}$, действующая на каждый из зарядов со стороны двух ближайших зарядов?

Дано:

$T = 7,6 \cdot 10^{-3}$ Н

Найти:

F - ?

Решение:

Рассмотрим один из зарядов, например, расположенный в правом верхнем углу квадрата. На него действуют следующие силы:

1. Силы кулоновского отталкивания со стороны трёх других зарядов. Так как все заряды одинаковы, они будут отталкиваться.

2. Силы натяжения двух нитей, связывающих его с соседними зарядами.

Пусть сторона квадрата равна $\text{a}$. Сила отталкивания между двумя соседними зарядами (например, верхним правым и верхним левым) равна $F_1$. По закону Кулона:

$F_1 = k \frac{q^2}{a^2}$

На рассматриваемый заряд действуют две такие силы $F_1$ от двух ближайших соседей (слева и снизу). Эти силы перпендикулярны друг другу. Сила $\text{F}$, которую требуется найти, является их векторной суммой.

$\vec{F} = \vec{F}_{1, \text{слева}} + \vec{F}_{1, \text{снизу}}$

Так как векторы сил перпендикулярны, модуль результирующей силы $\text{F}$ находится по теореме Пифагора:

$F = \sqrt{F_1^2 + F_1^2} = \sqrt{2F_1^2} = F_1\sqrt{2}$

Эта сила $\vec{F}$ направлена вдоль диагонали квадрата от его центра.

Кроме того, на заряд действует сила отталкивания $F_2$ со стороны диагонально противоположного заряда. Расстояние между этими зарядами равно диагонали квадрата, то есть $a\sqrt{2}$.

$F_2 = k \frac{q^2}{(a\sqrt{2})^2} = k \frac{q^2}{2a^2} = \frac{1}{2} F_1$

Эта сила $\vec{F_2}$ также направлена вдоль диагонали от центра.

Силы натяжения нитей $\text{T}$ направлены к соседним зарядам, то есть влево и вниз. Их результирующая сила $\vec{T}_{res}$ направлена по диагонали к центру квадрата. Её модуль также находится по теореме Пифагора:

$T_{res} = \sqrt{T^2 + T^2} = T\sqrt{2}$

По условию, система находится в равновесии. Это значит, что векторная сумма всех сил, действующих на заряд, равна нулю. Спроецируем все силы на ось, совпадающую с диагональю квадрата и направленную от центра. Силы $\vec{F}$ и $\vec{F_2}$ направлены в положительную сторону, а сила $\vec{T}_{res}$ — в отрицательную.

$F + F_2 - T_{res} = 0$

$F + F_2 = T_{res}$

Подставим известные соотношения:

$F + \frac{1}{2} F_1 = T\sqrt{2}$

Мы ищем $\text{F}$. Выразим $F_1$ через $\text{F}$: из $F = F_1\sqrt{2}$ следует $F_1 = \frac{F}{\sqrt{2}}$.

Подставим это в уравнение равновесия:

$F + \frac{1}{2} \left(\frac{F}{\sqrt{2}}\right) = T\sqrt{2}$

$F \left(1 + \frac{1}{2\sqrt{2}}\right) = T\sqrt{2}$

Выразим $\text{F}$:

$F = \frac{T\sqrt{2}}{1 + \frac{1}{2\sqrt{2}}} = \frac{T\sqrt{2}}{\frac{2\sqrt{2}+1}{2\sqrt{2}}} = \frac{T(\sqrt{2})(2\sqrt{2})}{2\sqrt{2}+1} = \frac{4T}{2\sqrt{2}+1}$

Теперь подставим числовые значения:

$F = \frac{4 \cdot 7,6 \cdot 10^{-3}}{2\sqrt{2}+1} \approx \frac{30,4 \cdot 10^{-3}}{2 \cdot 1,414 + 1} = \frac{30,4 \cdot 10^{-3}}{2,828 + 1} = \frac{30,4 \cdot 10^{-3}}{3,828} \approx 7,94 \cdot 10^{-3}$ Н

Округляя до двух значащих цифр, получаем $7,9 \cdot 10^{-3}$ Н.

Ответ: $F \approx 7,9 \cdot 10^{-3}$ Н.