Номер 11, страница 279 - гдз по физике 10 класс учебник Кабардин, Орлов

11. Три концентрические сферы радиусами $R_1 = R$, $R_2 = 2R$ и $R_3 = 3R$ имеют равномерно распределённые по их поверхностям заряды $q_1 = +2q$, $q_2 = +q$ и $q_3 = +q$ соответственно (см. рис.). Чему равен потенциал поля в точке А, отстоящей от центра сфер на расстоянии $R_4 = 2,5R$, если известно, что точечный заряд $\text{q}$ создаёт на расстоянии $\text{R}$ электрическое поле с потенциалом $\Phi_1 = 100 \text{ B}$?

Дано:

Радиусы концентрических сфер: $R_1 = R$, $R_2 = 2R$, $R_3 = 3R$.

Заряды (согласно тексту и рисунку):

Центральный точечный заряд: $q_0 = q$

Заряд на сфере 1: $q_1 = +2q$

Заряд на сфере 2: $q_2 = +q$

Заряд на сфере 3: $q_3 = +q$

Расстояние от центра до точки A: $R_4 = 2.5R$.

Потенциал, создаваемый точечным зарядом $\text{q}$ на расстоянии $\text{R}$: $\phi_q = 100 \text{ В}$.

Найти:

Потенциал поля в точке А: $\phi_A$.

Решение:

Согласно принципу суперпозиции, потенциал электростатического поля в точке А равен алгебраической сумме потенциалов, создаваемых в этой точке каждым зарядом системы в отдельности. Система состоит из центрального точечного заряда $q_0$ и трех заряженных сфер.

$\phi_A = \phi_0(R_4) + \phi_1(R_4) + \phi_2(R_4) + \phi_3(R_4)$

Потенциал, создаваемый равномерно заряженной сферой радиуса $R_{сф}$ с зарядом $\text{Q}$ на расстоянии $\text{r}$ от ее центра, определяется по формулам:

1. Вне сферы ($r > R_{сф}$): $\phi(r) = k \frac{Q}{r}$, где $k = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}$ – электростатическая постоянная.

2. Внутри сферы ($r \le R_{сф}$): $\phi(r) = k \frac{Q}{R_{сф}}$.

Потенциал точечного заряда $\text{Q}$ на расстоянии $\text{r}$ равен $\phi(r) = k \frac{Q}{r}$.

Рассчитаем потенциал от каждого элемента системы в точке А, находящейся на расстоянии $R_4 = 2.5R$ от центра.

1. Потенциал от центрального точечного заряда $q_0 = q$:

$\phi_0(R_4) = k \frac{q_0}{R_4} = k \frac{q}{2.5R}$

2. Потенциал от сферы радиусом $R_1 = R$ с зарядом $q_1 = 2q$. Точка А находится вне этой сферы ($R_4 > R_1$).

$\phi_1(R_4) = k \frac{q_1}{R_4} = k \frac{2q}{2.5R}$

3. Потенциал от сферы радиусом $R_2 = 2R$ с зарядом $q_2 = q$. Точка А находится вне этой сферы ($R_4 > R_2$).

$\phi_2(R_4) = k \frac{q_2}{R_4} = k \frac{q}{2.5R}$

4. Потенциал от сферы радиусом $R_3 = 3R$ с зарядом $q_3 = q$. Точка А находится внутри этой сферы ($R_4 < R_3$).

$\phi_3(R_4) = k \frac{q_3}{R_3} = k \frac{q}{3R}$

Теперь найдем суммарный потенциал в точке А:

$\phi_A = k \frac{q}{2.5R} + k \frac{2q}{2.5R} + k \frac{q}{2.5R} + k \frac{q}{3R}$

$\phi_A = \frac{kq}{R} \left(\frac{1}{2.5} + \frac{2}{2.5} + \frac{1}{2.5} + \frac{1}{3}\right)$

$\phi_A = \frac{kq}{R} \left(\frac{1+2+1}{2.5} + \frac{1}{3}\right) = \frac{kq}{R} \left(\frac{4}{2.5} + \frac{1}{3}\right)$

Преобразуем выражение в скобках:

$\frac{4}{2.5} + \frac{1}{3} = \frac{4}{5/2} + \frac{1}{3} = \frac{8}{5} + \frac{1}{3} = \frac{8 \cdot 3 + 5 \cdot 1}{15} = \frac{24+5}{15} = \frac{29}{15}$

Таким образом, потенциал в точке А равен:

$\phi_A = \frac{kq}{R} \cdot \frac{29}{15}$

Из условия задачи известно, что точечный заряд $\text{q}$ создает на расстоянии $\text{R}$ потенциал $\phi_q = 100 \text{ В}$. Формула для этого потенциала:

$\phi_q = k \frac{q}{R}$

Следовательно, $k \frac{q}{R} = 100 \text{ В}$.

Подставим это значение в выражение для $\phi_A$:

$\phi_A = 100 \cdot \frac{29}{15} = \frac{100}{15} \cdot 29 = \frac{20}{3} \cdot 29 = \frac{580}{3} \text{ В}$

$\phi_A \approx 193.33 \text{ В}$

Ответ: Потенциал поля в точке А равен $\frac{580}{3} \text{ В}$, что приблизительно составляет 193,33 В.