Номер 5, страница 87 - гдз по физике 10 класс учебник Касьянов

Механика. 3. Динамика материальной точки. Параграф 19. Второй закон Ньютона. Задачи - номер 5, страница 87.

Условие.

5. Моторная лодка движется с ускорением $a = 2 \, м/с^2$ под действием трёх сил: силы тяги двигателя $F_1 = 1000 \, Н$, силы ветра $F_2 = 1000 \, Н$ и силы сопротивления воды $F_3 = 414 \, Н$. Сила $F_1$ направлена на юг, сила $F_2$ — на запад, а сила $F_3$ противоположна направлению движения лодки. В каком направлении движется лодка и чему равна её масса?

Решение.

Дано:

$a = 2 \, м/с^2$

$F_1 = 1000 \, Н$ (направлена на юг)

$F_2 = 1000 \, Н$ (направлена на запад)

$F_3 = 414 \, Н$ (направлена против движения)

Найти:

Направление движения - ?

$m$ - ?

Решение:

Согласно второму закону Ньютона, равнодействующая всех сил, действующих на тело, равна произведению массы тела на его ускорение: $\vec{F}_{равн} = m\vec{a}$. Направление вектора ускорения $\vec{a}$ совпадает с направлением вектора равнодействующей силы $\vec{F}_{равн}$. Поскольку лодка движется с ускорением, направление её движения также совпадает с направлением ускорения.

На лодку действуют три силы: сила тяги двигателя $\vec{F_1}$, сила ветра $\vec{F_2}$ и сила сопротивления воды $\vec{F_3}$. Равнодействующая сила равна их векторной сумме:

$\vec{F}_{равн} = \vec{F_1} + \vec{F_2} + \vec{F_3}$

Сила сопротивления $\vec{F_3}$ по условию направлена противоположно направлению движения лодки, а значит, и противоположно вектору ускорения $\vec{a}$.

Из уравнения $m\vec{a} = \vec{F_1} + \vec{F_2} + \vec{F_3}$ следует, что $m\vec{a} - \vec{F_3} = \vec{F_1} + \vec{F_2}$.

Векторы $m\vec{a}$ и $(-\vec{F_3})$ сонаправлены (так как $\vec{F_3}$ направлена против $\vec{a}$). Следовательно, их сумма, вектор $m\vec{a} - \vec{F_3}$, также сонаправлен с вектором ускорения $\vec{a}$. Это означает, что направление движения лодки совпадает с направлением векторной суммы силы тяги и силы ветра $(\vec{F_1} + \vec{F_2})$.

Сила $\vec{F_1}$ направлена на юг, а сила $\vec{F_2}$ — на запад. Эти направления взаимно перпендикулярны. Поскольку модули этих сил равны ($F_1 = F_2 = 1000 \, Н$), их результирующая сила $(\vec{F_1} + \vec{F_2})$ будет направлена точно между западом и югом, то есть в юго-западном направлении (под углом $45^\circ$ к каждому из направлений).

Теперь найдем массу лодки. Запишем второй закон Ньютона в проекции на ось, совпадающую с направлением движения (юго-западное направление). Сумма проекций сил тяги и ветра на это направление равна модулю их векторной суммы, который найдем по теореме Пифагора:

$F_{12} = |\vec{F_1} + \vec{F_2}| = \sqrt{F_1^2 + F_2^2} = \sqrt{1000^2 + 1000^2} = \sqrt{2 \cdot 1000^2} = 1000\sqrt{2} \, Н$

Сила сопротивления $\vec{F_3}$ направлена в противоположную сторону, поэтому ее проекция на ось движения будет отрицательной: $-F_3$.

Проекция равнодействующей силы на ось движения равна $ma$. Таким образом, уравнение второго закона Ньютона в проекции на ось движения имеет вид:

$ma = F_{12} - F_3$

Выразим массу $m$:

$m = \frac{F_{12} - F_3}{a}$

Подставим числовые значения, приняв $\sqrt{2} \approx 1.414$:

$m = \frac{1000\sqrt{2} \, Н - 414 \, Н}{2 \, м/с^2} \approx \frac{1000 \cdot 1.414 - 414}{2} = \frac{1414 - 414}{2} = \frac{1000}{2} = 500 \, кг$

Ответ: лодка движется в юго-западном направлении, её масса равна 500 кг.