Номер 3, страница 112 - гдз по физике 10 класс учебник Касьянов

Механика. 3. Динамика материальной точки. Параграф 25. Применение законов Ньютона. Задачи - номер 3, страница 112.

Условие.

3. Тепловоз тащит состав из трёх одинаковых вагонов массой $m = 50 \text{ т}$ каждый с силой $F = 17940 \text{ Н}$. Коэффициент трения качения колёс о рельсы $\mu_{\text{кач}} = 0,002$. С каким ускорением движется состав? Определите силы натяжения сцепок между вагонами.

Решение.

Дано:

Масса одного вагона $m = 50$ т

Количество вагонов $n = 3$

Сила тяги $F = 17940$ Н

Коэффициент трения качения $\mu_{кач} = 0,002$

Ускорение свободного падения $g \approx 9,8 \text{ м/с}^2$

Перевод в систему СИ:

$m = 50 \text{ т} = 50 \cdot 1000 \text{ кг} = 50000 \text{ кг}$

Найти:

Ускорение состава $a - ?$

Силы натяжения сцепок $T_1, T_2 - ?$

Решение:

С каким ускорением движется состав?

Для нахождения ускорения состава рассмотрим все три вагона как единую систему. Общая масса системы $M$ равна:

$M = n \cdot m = 3m$

На состав в горизонтальном направлении действуют две силы: сила тяги тепловоза $F$, направленная вперед, и общая сила трения качения $F_{тр.общ}$, направленная назад. Сила трения качения для всего состава определяется как:

$F_{тр.общ} = \mu_{кач} \cdot N_{общ} = \mu_{кач} \cdot Mg = \mu_{кач} \cdot 3mg$

Применим второй закон Ньютона для всей системы:

$M \cdot a = F - F_{тр.общ}$

$3ma = F - 3\mu_{кач}mg$

Выразим из этого уравнения ускорение $a$:

$a = \frac{F - 3\mu_{кач}mg}{3m}$

Подставим числовые значения и произведем расчет:

$a = \frac{17940 \text{ Н} - 3 \cdot 0,002 \cdot 50000 \text{ кг} \cdot 9,8 \text{ м/с}^2}{3 \cdot 50000 \text{ кг}} = \frac{17940 - 2940}{150000} = \frac{15000}{150000} = 0,1 \text{ м/с}^2$

Ответ: Состав движется с ускорением $0,1 \text{ м/с}^2$.

Определите силы натяжения сцепок между вагонами.

Пронумеруем вагоны по ходу движения от тепловоза: вагон 1, вагон 2, вагон 3. Пусть $T_1$ — сила натяжения сцепки между 1-м и 2-м вагонами, а $T_2$ — сила натяжения сцепки между 2-м и 3-м вагонами. Все вагоны движутся с одинаковым ускорением $a = 0,1 \text{ м/с}^2$.

Чтобы найти $T_2$, применим второй закон Ньютона к последнему, третьему вагону. На него действует сила натяжения $T_2$ и сила трения $F_{тр3} = \mu_{кач}mg$.

$m \cdot a = T_2 - F_{тр3}$

$T_2 = ma + F_{тр3} = ma + \mu_{кач}mg = m(a + \mu_{кач}g)$

Вычислим $T_2$:

$T_2 = 50000 \text{ кг} \cdot (0,1 \text{ м/с}^2 + 0,002 \cdot 9,8 \text{ м/с}^2) = 50000 \cdot (0,1 + 0,0196) = 50000 \cdot 0,1196 = 5980 \text{ Н}$

Чтобы найти $T_1$, применим второй закон Ньютона к системе из второго и третьего вагонов. Их общая масса $2m$. На эту систему действует сила натяжения $T_1$ и суммарная сила трения двух вагонов $F_{тр(2+3)} = 2\mu_{кач}mg$.

$(2m) \cdot a = T_1 - F_{тр(2+3)}$

$T_1 = 2ma + F_{тр(2+3)} = 2ma + 2\mu_{кач}mg = 2m(a + \mu_{кач}g)$

Вычислим $T_1$:

$T_1 = 2 \cdot 50000 \text{ кг} \cdot (0,1 \text{ м/с}^2 + 0,002 \cdot 9,8 \text{ м/с}^2) = 100000 \cdot 0,1196 = 11960 \text{ Н}$

Ответ: Сила натяжения сцепки между первым и вторым вагоном равна $11960$ Н, а между вторым и третьим вагоном — $5980$ Н.