Номер 5, страница 112 - гдз по физике 10 класс учебник Касьянов

Механика. 3. Динамика материальной точки. Параграф 25. Применение законов Ньютона. Задачи - номер 5, страница 112.

Условие.

5. Два груза, массы которых $m_1$ и $m_2$ ($m_2 > m_1$), связаны невесомой и нерастяжимой нитью, перекинутой через блок ($m_H \ll m_1, m_2$). С каким ускорением будут двигаться грузы? Найдите силу натяжения нити и силу давления на ось блока.

Решение.

Дано:

Масса первого груза: $m_1$
Масса второго груза: $m_2$
Условие: $m_2 > m_1$
Нить является невесомой и нерастяжимой.
Массой блока можно пренебречь ($m_п \ll m_1, m_2$).

Найти:

$a$ - ускорение грузов
$T$ - сила натяжения нити
$F_{давл}$ - сила давления на ось блока

Решение:

На каждый из грузов действуют две силы: сила тяжести, направленная вертикально вниз ($m_1g$ и $m_2g$), и сила натяжения нити $T$, направленная вертикально вверх. Поскольку по условию $m_2 > m_1$, груз с массой $m_2$ будет двигаться вниз, а груз с массой $m_1$ — вверх. Так как нить нерастяжима, модули ускорений обоих грузов будут одинаковы и равны $a$. Поскольку нить и блок невесомы, сила натяжения $T$ будет одинаковой по всей длине нити.

Запишем второй закон Ньютона для каждого тела в проекции на вертикальную ось. Направим ось OY для груза $m_1$ вверх, а для груза $m_2$ — вниз (вдоль направления их ускорений).

Для первого груза ($m_1$):
$T - m_1g = m_1a$ (1)

Для второго груза ($m_2$):
$m_2g - T = m_2a$ (2)

Мы получили систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными: $a$ и $T$.

С каким ускорением будут двигаться грузы?

Чтобы найти ускорение $a$, сложим уравнения (1) и (2):

$(T - m_1g) + (m_2g - T) = m_1a + m_2a$
$m_2g - m_1g = (m_1 + m_2)a$
$g(m_2 - m_1) = a(m_1 + m_2)$

Отсюда выражаем ускорение $a$:

$a = \frac{m_2 - m_1}{m_1 + m_2}g$

Ответ: Ускорение грузов равно $a = \frac{m_2 - m_1}{m_1 + m_2}g$.

Найдите силу натяжения нити

Для нахождения силы натяжения нити $T$ подставим полученное выражение для ускорения $a$ в уравнение (1):

$T = m_1a + m_1g = m_1(a+g)$
$T = m_1 \left( \frac{m_2 - m_1}{m_1 + m_2}g + g \right)$
$T = m_1g \left( \frac{m_2 - m_1}{m_1 + m_2} + 1 \right)$
$T = m_1g \left( \frac{m_2 - m_1 + m_1 + m_2}{m_1 + m_2} \right)$
$T = m_1g \left( \frac{2m_2}{m_1 + m_2} \right)$
$T = \frac{2m_1m_2g}{m_1 + m_2}$

Ответ: Сила натяжения нити равна $T = \frac{2m_1m_2g}{m_1 + m_2}$.

Найдите силу давления на ось блока

На блок со стороны нити действуют две силы, каждая из которых равна по модулю силе натяжения $T$. Обе силы направлены вертикально вниз. Следовательно, сила давления на ось блока $F_{давл}$ будет равна сумме этих двух сил:

$F_{давл} = T + T = 2T$

Подставим найденное ранее выражение для $T$:

$F_{давл} = 2 \cdot \frac{2m_1m_2g}{m_1 + m_2} = \frac{4m_1m_2g}{m_1 + m_2}$

Ответ: Сила давления на ось блока равна $F_{давл} = \frac{4m_1m_2g}{m_1 + m_2}$.