Номер 5, страница 112 - гдз по физике 10 класс учебник Касьянов

Механика. 3. Динамика материальной точки. Параграф 25. Применение законов Ньютона. Вопросы - номер 5, страница 112.

Условие.

5. При каком угле наклона плоскости к горизонту (см. задачу III на с. 112) тело будет скатываться с неё равномерно? При каком угле наклона плоскости тело не будет скатываться с плоскости?

Решение.

Для решения данной задачи необходимо знать коэффициенты трения скольжения и трения покоя, которые, по-видимому, указаны в задаче III на с. 112. Поскольку эти данные отсутствуют, решим задачу в общем виде, обозначив коэффициент трения скольжения как $ \mu_k $ и коэффициент трения покоя как $ \mu_s $.

Рассмотрим тело массой $ m $, находящееся на наклонной плоскости, составляющей угол $ \alpha $ с горизонтом. На тело действуют три силы: сила тяжести $ \vec{F}_g = m\vec{g} $, сила реакции опоры $ \vec{N} $, направленная перпендикулярно плоскости, и сила трения $ \vec{F}_{тр} $, направленная вдоль плоскости против возможного движения.

Введем систему координат, в которой ось $ Ox $ направлена вдоль наклонной плоскости вниз, а ось $ Oy $ — перпендикулярно ей вверх. Тогда проекции силы тяжести на эти оси будут:

• Проекция на ось $ Ox $: $ F_{gx} = mg \sin\alpha $

• Проекция на ось $ Oy $: $ F_{gy} = -mg \cos\alpha $

При каком угле наклона плоскости к горизонту тело будет скатываться с неё равномерно?

Решение

Равномерное скатывание означает, что тело движется с постоянной скоростью, то есть его ускорение равно нулю ($ a = 0 $). Согласно второму закону Ньютона, равнодействующая всех сил, действующих на тело, равна нулю: $ \sum \vec{F} = 0 $.

Запишем уравнения в проекциях на оси координат:

На ось $ Oy $: $ N - mg \cos\alpha = 0 $, откуда сила реакции опоры $ N = mg \cos\alpha $.

На ось $ Ox $: $ mg \sin\alpha - F_{тр.ск} = 0 $.

При движении на тело действует сила трения скольжения, которая равна $ F_{тр.ск} = \mu_k N $. Подставим в уравнение для оси $ Ox $ выражения для $ N $ и $ F_{тр.ск} $:

$ mg \sin\alpha - \mu_k (mg \cos\alpha) = 0 $

Сократим на $ mg $ (при условии, что $ m \ne 0 $ и $ g \ne 0 $):

$ \sin\alpha - \mu_k \cos\alpha = 0 $

$ \sin\alpha = \mu_k \cos\alpha $

Разделим обе части на $ \cos\alpha $ (при $ \alpha \ne 90^\circ $):

$ \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \mu_k $

$ \tan\alpha = \mu_k $

Таким образом, угол наклона, при котором тело будет скатываться равномерно, определяется коэффициентом трения скольжения.

Ответ: Тело будет скатываться с плоскости равномерно при угле наклона $ \alpha $, тангенс которого равен коэффициенту трения скольжения: $ \tan\alpha = \mu_k $, или $ \alpha = \arctan(\mu_k) $.

При каком угле наклона плоскости тело не будет скатываться с плоскости?

Решение

Тело не будет скатываться с плоскости, если оно находится в состоянии покоя. Это возможно, когда скатывающая сила (проекция силы тяжести на ось $ Ox $) не превышает максимальную силу трения покоя.

Скатывающая сила: $ F_{скат} = mg \sin\alpha $.

Максимальная сила трения покоя: $ F_{тр.п.макс} = \mu_s N $. Из анализа сил по оси $ Oy $ мы знаем, что $ N = mg \cos\alpha $. Следовательно, $ F_{тр.п.макс} = \mu_s mg \cos\alpha $.

Условие покоя тела:

$ F_{скат} \le F_{тр.п.макс} $

$ mg \sin\alpha \le \mu_s mg \cos\alpha $

Сократим на $ mg $:

$ \sin\alpha \le \mu_s \cos\alpha $

Разделим обе части на $ \cos\alpha $ (так как для $ 0 \le \alpha < 90^\circ $ значение $ \cos\alpha > 0 $, знак неравенства не меняется):

$ \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} \le \mu_s $

$ \tan\alpha \le \mu_s $

Это означает, что тело не будет соскальзывать, пока тангенс угла наклона плоскости меньше или равен коэффициенту трения покоя.

Ответ: Тело не будет скатываться с плоскости при угле наклона $ \alpha $, удовлетворяющем условию $ \tan\alpha \le \mu_s $, или $ \alpha \le \arctan(\mu_s) $.