Номер 3, страница 264 - гдз по физике 10 класс учебник Касьянов

Молекулярная физика. 9. Молекулярно-кинетическая теория идеального газа. Параграф 54. Изопроцессы. Задачи - номер 3, страница 264.

Условие.

3. Посередине запаянной с обоих концов горизонтальной трубки длиной 27,5 см находится столбик ртути длиной 7,5 см. При повороте трубки в вертикальное положение столбик ртути смещается вниз на 2 см. Определите давление воздуха в обеих частях трубки в горизонтальном и вертикальном положениях.

Решение.

Дано:

Длина трубки $L = 27,5 \text{ см}$
Длина столбика ртути $h = 7,5 \text{ см}$
Смещение столбика ртути $\Delta l = 2 \text{ см}$
Плотность ртути $\rho = 13600 \text{ кг/м}^3$
Ускорение свободного падения $g = 9,8 \text{ м/с}^2$

$L = 0,275 \text{ м}$
$h = 0,075 \text{ м}$
$\Delta l = 0,02 \text{ м}$

Найти:

$P_0$ — давление воздуха в обеих частях трубки в горизонтальном положении.
$P_1, P_2$ — давления воздуха в верхней и нижней частях трубки в вертикальном положении.

Решение:

1. Горизонтальное положение.
Когда трубка находится в горизонтальном положении, столбик ртути расположен посередине. Давление воздуха в обеих частях трубки одинаково. Обозначим это давление $P_0$. Длина каждой воздушной полости равна: $l_0 = \frac{L - h}{2} = \frac{27,5 \text{ см} - 7,5 \text{ см}}{2} = \frac{20 \text{ см}}{2} = 10 \text{ см} = 0,1 \text{ м}$. Если $S$ — площадь поперечного сечения трубки, то начальный объем воздуха в каждой части $V_0 = S \cdot l_0$.

2. Вертикальное положение.
При повороте трубки в вертикальное положение столбик ртути смещается вниз на $\Delta l$. В результате воздух в верхней части расширяется, а в нижней — сжимается. Новая длина верхней воздушной полости: $l_1 = l_0 + \Delta l = 10 \text{ см} + 2 \text{ см} = 12 \text{ см} = 0,12 \text{ м}$. Новая длина нижней воздушной полости: $l_2 = l_0 - \Delta l = 10 \text{ см} - 2 \text{ см} = 8 \text{ см} = 0,08 \text{ м}$. Новые объемы воздуха: $V_1 = S \cdot l_1$ и $V_2 = S \cdot l_2$. Давления в них — $P_1$ и $P_2$ соответственно.

В вертикальном положении столбик ртути находится в равновесии. Это означает, что давление в нижней части $P_2$ уравновешивает давление в верхней части $P_1$ и гидростатическое давление самого столбика ртути $P_{Hg}$: $P_2 = P_1 + P_{Hg}$. Давление столбика ртути рассчитывается по формуле: $P_{Hg} = \rho \cdot g \cdot h = 13600 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot 9,8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot 0,075 \text{ м} = 9996 \text{ Па}$.

3. Применение закона Бойля-Мариотта.
Процесс изменения объема воздуха будем считать изотермическим (температура постоянна). Тогда для каждой части трубки справедлив закон Бойля-Мариотта ($PV = \text{const}$). Для верхней части: $P_0 V_0 = P_1 V_1 \implies P_0 S l_0 = P_1 S l_1 \implies P_1 = P_0 \frac{l_0}{l_1}$. Для нижней части: $P_0 V_0 = P_2 V_2 \implies P_0 S l_0 = P_2 S l_2 \implies P_2 = P_0 \frac{l_0}{l_2}$.

4. Расчет давлений.
Подставим выражения для $P_1$ и $P_2$ в уравнение равновесия: $P_0 \frac{l_0}{l_2} = P_0 \frac{l_0}{l_1} + P_{Hg}$. Выразим из этого уравнения начальное давление $P_0$: $P_0 \left( \frac{l_0}{l_2} - \frac{l_0}{l_1} \right) = P_{Hg}$ $P_0 \cdot l_0 \frac{l_1 - l_2}{l_1 l_2} = P_{Hg}$ $P_0 = \frac{P_{Hg} \cdot l_1 l_2}{l_0 (l_1 - l_2)}$. Подставим численные значения: $P_0 = \frac{9996 \text{ Па} \cdot (0,12 \text{ м} \cdot 0,08 \text{ м})}{0,1 \text{ м} \cdot (0,12 \text{ м} - 0,08 \text{ м})} = \frac{9996 \cdot 0,0096}{0,1 \cdot 0,04} = \frac{95,9616}{0,004} = 23990,4 \text{ Па}$.

Теперь найдем давления $P_1$ и $P_2$ в вертикальном положении: $P_1 = P_0 \frac{l_0}{l_1} = 23990,4 \text{ Па} \cdot \frac{0,1 \text{ м}}{0,12 \text{ м}} = 19992 \text{ Па}$. $P_2 = P_0 \frac{l_0}{l_2} = 23990,4 \text{ Па} \cdot \frac{0,1 \text{ м}}{0,08 \text{ м}} = 29988 \text{ Па}$.

Округлим полученные значения для ответа.

Ответ: В горизонтальном положении давление воздуха в обеих частях трубки одинаково и составляет приблизительно $24 \text{ кПа}$. В вертикальном положении давление воздуха в верхней части составляет приблизительно $20 \text{ кПа}$, а в нижней части — приблизительно $30 \text{ кПа}$.