Номер 4, страница 265 - гдз по физике 10 класс учебник Касьянов

Молекулярная физика. 9. Молекулярно-кинетическая теория идеального газа. Параграф 54. Изопроцессы. Задачи - номер 4, страница 265.

Условие.

4. В цилиндре под поршнем массой 50 кг и площадью $10^{-2} \text{ м}^2$ находится 1 моль воздуха. Цилиндр нагревают снаружи при нормальном атмосферном давлении на $15^\circ \text{С}$. Найдите смещение поршня в результате нагревания.

Решение.

Дано:

Масса поршня, $m = 50$ кг
Площадь поршня, $S = 10^{-2}$ м²
Количество вещества воздуха, $\nu = 1$ моль
Изменение температуры, $\Delta t = 15$ °C
Нормальное атмосферное давление, $p_a \approx 10^5$ Па
Универсальная газовая постоянная, $R \approx 8.31$ Дж/(моль·К)
Ускорение свободного падения, $g \approx 10$ м/с²

Перевод в СИ:
Изменение температуры в Кельвинах равно изменению температуры в градусах Цельсия, поэтому $\Delta T = 15$ К. Остальные величины уже даны в системе СИ.

Найти:

Смещение поршня, $\Delta h$

Решение:

Поскольку поршень может свободно перемещаться, а внешнее давление (атмосферное давление и давление, создаваемое весом поршня) постоянно, процесс нагревания воздуха в цилиндре является изобарным, то есть происходит при постоянном давлении $p$.

Давление воздуха $p$ в цилиндре уравновешивает сумму атмосферного давления $p_a$ и давления $p_п$, которое создает вес поршня:

$p = p_a + p_п$

Давление, создаваемое поршнем, равно отношению его веса $mg$ к площади $S$:

$p_п = \frac{mg}{S}$

Следовательно, полное давление газа в цилиндре постоянно и равно:

$p = p_a + \frac{mg}{S}$

Подставим числовые значения для расчета давления:

$p = 10^5 \text{ Па} + \frac{50 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с²}}{10^{-2} \text{ м²}} = 10^5 \text{ Па} + \frac{500}{0.01} \text{ Па} = 100000 \text{ Па} + 50000 \text{ Па} = 1.5 \cdot 10^5 \text{ Па}$

Для изобарного процесса можно использовать уравнение Менделеева-Клапейрона. Запишем его для начального ($V_1, T_1$) и конечного ($V_2, T_2$) состояний:

$pV_1 = \nu RT_1$

$pV_2 = \nu RT_2$

Вычитая первое уравнение из второго, получаем связь между изменением объема и изменением температуры:

$p(V_2 - V_1) = \nu R(T_2 - T_1)$

$p\Delta V = \nu R\Delta T$

Изменение объема газа $\Delta V$ при смещении поршня на высоту $\Delta h$ равно:

$\Delta V = S \cdot \Delta h$

Подставим это выражение в уравнение для изобарного процесса:

$p \cdot S \cdot \Delta h = \nu R\Delta T$

Теперь выразим искомое смещение поршня $\Delta h$:

$\Delta h = \frac{\nu R\Delta T}{pS}$

Подставим все известные значения в полученную формулу:

$\Delta h = \frac{1 \text{ моль} \cdot 8.31 \frac{\text{Дж}}{\text{моль} \cdot \text{К}} \cdot 15 \text{ К}}{1.5 \cdot 10^5 \text{ Па} \cdot 10^{-2} \text{ м²}} = \frac{124.65}{1500} \text{ м} \approx 0.0831 \text{ м}$

Полученный результат можно выразить в сантиметрах: $0.0831 \text{ м} \approx 8.3 \text{ см}$.

Ответ: смещение поршня составляет примерно 0.083 м или 8.3 см.