Номер 2, страница 264 - гдз по физике 10 класс учебник Касьянов

Молекулярная физика. 9. Молекулярно-кинетическая теория идеального газа. Параграф 54. Изопроцессы. Задачи - номер 2, страница 264.

Условие.

2. Цилиндр разделён непроницаемой закреплённой перегородкой на две части, высоты которых $l_1$ и $l_2$. Давление воздуха в этих частях цилиндра $p_1$ и $p_2$ соответственно. При снятии закрепления перегородка может двигаться вдоль цилиндра как невесомый поршень. На какое расстояние и в какую сторону сдвинется перегородка?

Решение.

Дано:

Начальная высота первой части цилиндра - $l_1$

Начальная высота второй части цилиндра - $l_2$

Начальное давление воздуха в первой части - $p_1$

Начальное давление воздуха во второй части - $p_2$

Найти:

Расстояние $x$, на которое сдвинется перегородка, и направление её движения.

Решение:

Обозначим площадь поперечного сечения цилиндра через $S$. Тогда начальные объемы воздуха в двух частях цилиндра равны:

$V_1 = S l_1$

$V_2 = S l_2$

Поскольку процесс происходит с газом (воздухом) в замкнутом объеме и не указано изменение температуры, будем считать процесс изотермическим. Это означает, что температура газа в обеих частях цилиндра остается постоянной. В таком случае для каждой части цилиндра выполняется закон Бойля-Мариотта, согласно которому произведение давления газа на его объем остается постоянным ($pV = const$).

После снятия закрепления перегородка, как невесомый поршень, будет двигаться до тех пор, пока силы давления со стороны газов на нее не уравновесятся. Это произойдет, когда давления воздуха по обе стороны от перегородки станут одинаковыми. Обозначим это установившееся конечное давление через $p'$.

Пусть перегородка сдвинулась на расстояние $x$. Направление сдвига будет в сторону меньшего начального давления. Допустим, что $p_1 > p_2$. В этом случае перегородка сдвинется в сторону второй части, сжимая газ в ней и позволяя газу в первой части расшириться. Новые высоты частей цилиндра станут:

$l'_1 = l_1 + x$

$l'_2 = l_2 - x$

Новые объемы, соответственно, будут равны:

$V'_1 = S(l_1 + x)$

$V'_2 = S(l_2 - x)$

Применим закон Бойля-Мариотта для каждой части цилиндра, связывая начальное и конечное состояния:

Для первой части: $p_1 V_1 = p' V'_1 \Rightarrow p_1 S l_1 = p' S (l_1 + x)$

Для второй части: $p_2 V_2 = p' V'_2 \Rightarrow p_2 S l_2 = p' S (l_2 - x)$

Площадь поперечного сечения $S$ сокращается, и мы получаем систему из двух уравнений:

1) $p_1 l_1 = p'(l_1 + x)$

2) $p_2 l_2 = p'(l_2 - x)$

Чтобы найти искомое смещение $x$, необходимо исключить из системы неизвестное конечное давление $p'$. Для этого выразим $p'$ из каждого уравнения:

Из (1): $p' = \frac{p_1 l_1}{l_1 + x}$

Из (2): $p' = \frac{p_2 l_2}{l_2 - x}$

Теперь приравняем правые части этих выражений:

$\frac{p_1 l_1}{l_1 + x} = \frac{p_2 l_2}{l_2 - x}$

Решим полученное уравнение относительно $x$:

$p_1 l_1 (l_2 - x) = p_2 l_2 (l_1 + x)$

Раскроем скобки:

$p_1 l_1 l_2 - p_1 l_1 x = p_2 l_1 l_2 + p_2 l_2 x$

Сгруппируем слагаемые, содержащие $x$, в одной части уравнения, а остальные — в другой:

$p_1 l_1 l_2 - p_2 l_1 l_2 = p_1 l_1 x + p_2 l_2 x$

Вынесем общие множители за скобки:

$l_1 l_2 (p_1 - p_2) = x (p_1 l_1 + p_2 l_2)$

Отсюда выражаем величину смещения $x$:

$x = \frac{l_1 l_2 (p_1 - p_2)}{p_1 l_1 + p_2 l_2}$

Эта формула определяет смещение перегородки. Расстояние, на которое сдвинется перегородка, является модулем этой величины:

$|x| = \frac{l_1 l_2 |p_1 - p_2|}{p_1 l_1 + p_2 l_2}$

Направление движения определяется знаком разности давлений $(p_1 - p_2)$. Если $p_1 > p_2$, то $x$ будет положительным, что соответствует нашему предположению о движении в сторону второй части. Если $p_2 > p_1$, то $x$ будет отрицательным, что означает движение в противоположную сторону, то есть в сторону первой части. В обоих случаях перегородка движется в сторону части с меньшим начальным давлением.

Ответ:

Перегородка сдвинется на расстояние $x = \frac{l_1 l_2 |p_1 - p_2|}{p_1 l_1 + p_2 l_2}$ в сторону той части цилиндра, где начальное давление воздуха было меньше.