Номер 4, страница 280 - гдз по физике 10 класс учебник Касьянов

Молекулярная физика. 10. Термодинамика. Параграф 57. Первый закон термодинамики. Задачи - номер 4, страница 280.

Условие.

4. Какое количество теплоты требуется для изобарного увеличения в 2 раза объёма молекулярного азота массой 14 г, имеющего до нагревания температуру 27 °С?

Решение.

Дано:

Процесс изобарный ($p = \text{const}$)

Газ: молекулярный азот ($N_2$)

Отношение объемов: $V_2 / V_1 = 2$

Масса азота: $m = 14$ г

Начальная температура: $t_1 = 27$ °C

Перевод в систему СИ:

Масса: $m = 0.014$ кг

Начальная температура: $T_1 = 27 + 273.15 \approx 300$ К

Молярная масса молекулярного азота ($N_2$): $M = 28 \cdot 10^{-3}$ кг/моль

Универсальная газовая постоянная: $R \approx 8.31$ Дж/(моль·К)

Найти:

Количество теплоты $Q$.

Решение:

Согласно первому закону термодинамики, количество теплоты $Q$, переданное газу, расходуется на изменение его внутренней энергии $\Delta U$ и на совершение газом работы $A$:
$Q = \Delta U + A$

1. Найдем количество вещества (азота) $\nu$:
$\nu = \frac{m}{M} = \frac{0.014 \text{ кг}}{0.028 \text{ кг/моль}} = 0.5$ моль.

2. Так как процесс изобарный, для нахождения конечной температуры $T_2$ воспользуемся законом Гей-Люссака:
$\frac{V_1}{T_1} = \frac{V_2}{T_2}$
По условию задачи объем увеличивается в 2 раза, то есть $V_2 = 2V_1$. Отсюда находим конечную температуру:
$T_2 = T_1 \frac{V_2}{V_1} = T_1 \frac{2V_1}{V_1} = 2T_1 = 2 \cdot 300 \text{ К} = 600$ К.
Следовательно, изменение температуры газа составляет:
$\Delta T = T_2 - T_1 = 600 \text{ К} - 300 \text{ К} = 300$ К.

3. Изменение внутренней энергии $\Delta U$ для идеального газа вычисляется по формуле:
$\Delta U = \frac{i}{2}\nu R \Delta T$
Молекула азота ($N_2$) является двухатомной, поэтому число степеней свободы для нее $i=5$.
$\Delta U = \frac{5}{2} \cdot 0.5 \text{ моль} \cdot 8.31 \frac{\text{Дж}}{\text{моль} \cdot \text{К}} \cdot 300 \text{ К} \approx 3116.25$ Дж.

4. Работа $A$, совершаемая газом при изобарном процессе, равна:
$A = p \Delta V = p(V_2 - V_1)$
Используя уравнение состояния идеального газа ($pV = \nu RT$), работу можно выразить через изменение температуры:
$A = \nu R \Delta T = 0.5 \text{ моль} \cdot 8.31 \frac{\text{Дж}}{\text{моль} \cdot \text{К}} \cdot 300 \text{ К} \approx 1246.5$ Дж.

5. Теперь можем найти искомое количество теплоты, сложив изменение внутренней энергии и работу:
$Q = \Delta U + A \approx 3116.25 \text{ Дж} + 1246.5 \text{ Дж} \approx 4362.75$ Дж.

Задачу можно решить и другим способом, используя формулу для количества теплоты при изобарном процессе:
$Q = \nu C_p \Delta T = \nu (\frac{i}{2}R + R) \Delta T = \frac{i+2}{2}\nu R \Delta T$
Подставив значения, получим тот же результат:
$Q = \frac{5+2}{2} \cdot 0.5 \text{ моль} \cdot 8.31 \frac{\text{Дж}}{\text{моль} \cdot \text{К}} \cdot 300 \text{ К} = 3.5 \cdot 0.5 \cdot 8.31 \cdot 300 \approx 4362.75$ Дж.

Ответ: требуется количество теплоты, равное примерно 4363 Дж (или 4.36 кДж).