Номер 1, страница 63, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Кронгарт, Казахбаева

Исследуйте

Прикрепите к резиновому жгуту грузик. Затем сложите резиновый жгут пополам. Прикрепите к нему тот же груз. Сравните растяжение жгута в обоих случаях. Объясните. Приведите соответствующие расчеты.

Для решения этой задачи воспользуемся законом Гука и понятием жесткости материала.

Дано:

Пусть исходный резиновый жгут имеет следующие параметры:

$L_0$ - начальная длина жгута

$\text{S}$ - площадь поперечного сечения жгута

$\text{E}$ - модуль Юнга для резины (характеристика упругости материала)

$\text{m}$ - масса грузика

$\text{g}$ - ускорение свободного падения

Сила, действующая на жгут, равна весу грузика: $F = mg$.

Найти:

Сравнить растяжение жгута в первом случае ($\Delta L_1$) и во втором случае ($\Delta L_2$).

Решение:

Закон Гука для упругой деформации стержня гласит: $\sigma = E \cdot \varepsilon$, где $\sigma$ - механическое напряжение ($\sigma = F/S$), а $\varepsilon$ - относительное удлинение ($\varepsilon = \Delta L / L_0$).

Отсюда $F/S = E \cdot (\Delta L / L_0)$, и мы можем выразить абсолютное удлинение (растяжение):

$\Delta L = \frac{F \cdot L_0}{E \cdot S}$

Также можно использовать формулу через коэффициент жесткости $\text{k}$: $F = k \cdot \Delta L$. Для стержня коэффициент жесткости $k = \frac{E \cdot S}{L_0}$.

1. Первый случай: грузик прикреплен к одиночному жгуту.

Параметры системы:

• Сила: $F_1 = mg$
• Длина: $L_1 = L_0$
• Площадь сечения: $S_1 = S$

Растяжение жгута в этом случае равно:

$\Delta L_1 = \frac{F_1 \cdot L_1}{E \cdot S_1} = \frac{mg \cdot L_0}{E \cdot S}$

2. Второй случай: грузик прикреплен к жгуту, сложенному пополам.

Когда мы складываем жгут пополам, мы по сути создаем систему из двух параллельно соединенных жгутов, каждый из которых имеет половину исходной длины.

Параметры новой системы:

• Сила: $F_2 = mg$ (сила та же, она распределяется по двум "ветвям" жгута)
• Длина каждой "ветви": $L_2 = L_0 / 2$
• Суммарная площадь поперечного сечения: $S_2 = S + S = 2S$

Рассчитаем растяжение для этой новой системы. Длина, которая растягивается, теперь вдвое меньше, а площадь, на которую действует сила, вдвое больше.

$\Delta L_2 = \frac{F_2 \cdot L_2}{E \cdot S_2} = \frac{mg \cdot (L_0 / 2)}{E \cdot (2S)} = \frac{mg \cdot L_0}{4 \cdot E \cdot S}$

3. Сравнение растяжений.

Теперь сравним полученные значения $\Delta L_1$ и $\Delta L_2$:

$\Delta L_1 = \frac{mg \cdot L_0}{E \cdot S}$

$\Delta L_2 = \frac{1}{4} \cdot \frac{mg \cdot L_0}{E \cdot S}$

Отсюда видно, что $\Delta L_2 = \frac{1}{4} \Delta L_1$, или $\Delta L_1 = 4 \Delta L_2$.

Это можно объяснить через жесткость. Жесткость первого жгута $k_1 = \frac{E \cdot S}{L_0}$. Жесткость второго (сложенного) жгута $k_2 = \frac{E \cdot S_2}{L_2} = \frac{E \cdot (2S)}{L_0/2} = \frac{4ES}{L_0} = 4k_1$. Так как жесткость увеличилась в 4 раза, то при той же силе растяжение будет в 4 раза меньше.

Ответ: Растяжение резинового жгута, сложенного пополам, в 4 раза меньше, чем растяжение того же жгута в полную длину. Это происходит потому, что при складывании пополам длина жгута уменьшается в 2 раза, а эффективная площадь поперечного сечения увеличивается в 2 раза, что в совокупности приводит к увеличению жесткости системы в 4 раза.