Номер 7, страница 63, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Кронгарт, Казахбаева

7. Каково удлинение троса, на котором медленно поднимают со дна водоема затонувшую статую объемом 2 м³ и массой 7 т. Жесткость троса 2,5 МН/м.

(Ответ: 2 см)

Дано:

$V = 2 \text{ м}^3$

$m = 7 \text{ т} = 7000 \text{ кг}$

$k = 2,5 \text{ МН/м} = 2,5 \cdot 10^6 \text{ Н/м}$

$\rho_{\text{воды}} = 1000 \text{ кг/м}^3$ (плотность воды)

$g \approx 10 \text{ Н/кг}$ (ускорение свободного падения)

Найти:

$\Delta l$ - ?

Решение:

При медленном подъеме статуи из воды на нее действуют три силы: сила тяжести $F_g$, направленная вертикально вниз, выталкивающая сила Архимеда $F_A$, направленная вертикально вверх, и сила натяжения троса $\text{T}$, также направленная вверх. Поскольку подъем происходит медленно, ускорение равно нулю, и, согласно первому закону Ньютона, равнодействующая всех сил, приложенных к телу, равна нулю. Запишем условие равновесия для статуи в проекции на вертикальную ось:

$T + F_A - F_g = 0$

Отсюда мы можем выразить силу натяжения троса $\text{T}$, которая и вызывает его растяжение:

$T = F_g - F_A$

Сила тяжести, действующая на статую, вычисляется по формуле:

$F_g = m \cdot g$

Выталкивающая сила Архимеда, действующая на погруженное в воду тело, равна весу вытесненной им жидкости:

$F_A = \rho_{\text{воды}} \cdot g \cdot V$

Подставим выражения для $F_g$ и $F_A$ в формулу для силы натяжения троса:

$T = m \cdot g - \rho_{\text{воды}} \cdot g \cdot V = g(m - \rho_{\text{воды}} \cdot V)$

Удлинение троса $\Delta l$ подчиняется закону Гука, который связывает силу упругости (равную по модулю силе натяжения $\text{T}$) с жесткостью троса $\text{k}$:

$T = k \cdot \Delta l$

Выразим из закона Гука искомое удлинение $\Delta l$:

$\Delta l = \frac{T}{k}$

Теперь объединим формулы, чтобы получить итоговое выражение для удлинения:

$\Delta l = \frac{g(m - \rho_{\text{воды}} \cdot V)}{k}$

Подставим числовые значения в полученную формулу и произведем вычисления:

$\Delta l = \frac{10 \text{ Н/кг} \cdot (7000 \text{ кг} - 1000 \text{ кг/м}^3 \cdot 2 \text{ м}^3)}{2,5 \cdot 10^6 \text{ Н/м}}$

$\Delta l = \frac{10 \cdot (7000 - 2000)}{2,5 \cdot 10^6} \text{ м} = \frac{10 \cdot 5000}{2,5 \cdot 10^6} \text{ м} = \frac{50000}{2500000} \text{ м}$

$\Delta l = 0,02 \text{ м}$

Переведем полученное значение в сантиметры, зная, что в 1 метре 100 сантиметров:

$0,02 \text{ м} = 0,02 \cdot 100 \text{ см} = 2 \text{ см}$

Ответ: удлинение троса составляет 2 см.