Номер 5, страница 201, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Кронгарт, Казахбаева

*5. Один моль одноатомного идеального газа совершает циклический процесс 1—2—3—4—1, график которого изображен на рисунке 34.6. Температура газа в 1-м состоянии 100 К. Работа, совершенная газом за цикл, равна 16,6 кДж. Найдите количество молей газа.

Рис. 34.6

(Ответ: 2 моля)

Дано:

Циклический процесс 1-2-3-4-1 идеального одноатомного газа.

Температура в состоянии 1: $T_1 = 100$ К.

Работа газа за цикл: $A_ц = 16,6$ кДж.

Параметры состояний по графику: $p_1 = p_0, V_1 = V_0; p_2 = 2p_0, V_2 = V_0; p_3 = 2p_0, V_3 = 3V_0; p_4 = p_0, V_4 = 3V_0$.

Универсальная газовая постоянная: $R \approx 8,31 \frac{Дж}{моль \cdot К}$.

Перевод в систему СИ:

$A_ц = 16,6 \text{ кДж} = 16,6 \cdot 10^3 \text{ Дж} = 16600 \text{ Дж}$.

Найти:

Количество вещества газа $\nu$.

Решение:

В условии задачи имеется противоречие: в тексте упоминается "Один моль", но при этом требуется найти количество молей, а в скобках дан ответ "2 моля". Решение будет основано на числовых данных, приведенных в теле задачи: $A_ц = 16,6$ кДж и $T_1 = 100$ К, так как они являются основными для расчета.

Работа, совершаемая газом за цикл, в координатах $p-V$ численно равна площади фигуры, ограниченной графиком цикла. В данном случае, это площадь прямоугольника 1-2-3-4.

Изменение давления на участках с постоянным объемом (1-2 и 3-4) составляет $\Delta p = p_2 - p_1 = 2p_0 - p_0 = p_0$.

Изменение объема на участках с постоянным давлением (2-3 и 4-1) составляет $\Delta V = V_3 - V_2 = 3V_0 - V_0 = 2V_0$.

Работа за цикл равна произведению этих изменений:

$A_ц = \Delta p \cdot \Delta V = p_0 \cdot 2V_0 = 2p_0V_0$.

Отсюда мы можем выразить произведение $p_0V_0$ через известную работу $A_ц$:

$p_0V_0 = \frac{A_ц}{2} = \frac{16600 \text{ Дж}}{2} = 8300 \text{ Дж}$.

Запишем уравнение состояния идеального газа (уравнение Менделеева-Клапейрона) для состояния 1, параметры которого $p_1 = p_0, V_1 = V_0, T_1 = 100 \text{ К}$:

$p_1V_1 = \nu R T_1$, что соответствует $p_0V_0 = \nu R T_1$.

Мы уже нашли значение произведения $p_0V_0$, поэтому можем подставить его в уравнение:

$8300 = \nu R T_1$.

Выразим искомое количество вещества $\nu$:

$\nu = \frac{p_0V_0}{R T_1} = \frac{8300 \text{ Дж}}{R \cdot 100 \text{ К}}$.

Подставим числовое значение универсальной газовой постоянной $R \approx 8,31 \frac{Дж}{моль \cdot К}$:

$\nu = \frac{8300}{8,31 \cdot 100} = \frac{83}{8,31} \approx 9,988 \text{ моль}$.

Если для расчетов использовать округленное значение $R \approx 8,3 \frac{Дж}{моль \cdot К}$, которое часто подразумевается в учебных задачах для упрощения вычислений, то результат получается целочисленным:

$\nu = \frac{8300}{8,3 \cdot 100} = \frac{8300}{830} = 10 \text{ моль}$.

Таким образом, расчет на основе данных из условия задачи дает результат 10 моль. Ответ "2 моля", указанный в скобках, был бы верным, если бы температура $T_1$ была равна 500 К или работа за цикл составляла $3,32$ кДж.

Ответ: 10 моль.