Номер 3, страница 201, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Кронгарт, Казахбаева

3. Идеальный газ массой $\text{m}$, находящийся при температуре $\text{T}$, охлаждается изохорно так, что давление падает в $\text{n}$ раз. Затем газ расширяется при постоянном давлении. В конечном состоянии его температура равна первоначальной. Определите совершенную газом работу. Молярная масса газа равна $\text{M}$.

(Ответ: $A = \frac{n - 1}{n} \frac{m}{M} RT$)

Дано:

Масса идеального газа: $\text{m}$

Начальная температура газа (состояние 1): $T_1 = T$

Конечная температура газа (состояние 3): $T_3 = T$

Молярная масса газа: $\text{M}$

Универсальная газовая постоянная: $\text{R}$

Коэффициент, показывающий, во сколько раз упало давление при изохорном охлаждении: $\text{n}$

Найти:

Работу, совершенную газом: $\text{A}$

Решение:

Процесс, описанный в задаче, состоит из двух последовательных этапов:

1. Изохорное охлаждение (процесс 1-2). Объем газа остается постоянным ($V = const$).

2. Изобарное расширение (процесс 2-3). Давление газа остается постоянным ($p = const$).

Общая работа $\text{A}$, совершенная газом, равна сумме работ, совершенных на каждом этапе: $A = A_{12} + A_{23}$.

На первом этапе (процесс 1-2) происходит изохорное охлаждение. Работа газа в изохорном процессе равна нулю, так как объем не изменяется ($dV = 0$):

$A_{12} = 0$

На втором этапе (процесс 2-3) происходит изобарное расширение. Работа газа в изобарном процессе вычисляется по формуле:

$A_{23} = p_2(V_3 - V_2)$, где $p_2$ - постоянное давление в этом процессе, $V_2$ и $V_3$ - начальный и конечный объемы газа на этом этапе.

Следовательно, полная работа, совершенная газом, равна работе на втором этапе: $A = A_{23}$.

Распишем параметры газа для каждого состояния, используя уравнение состояния идеального газа (уравнение Менделеева-Клапейрона) $pV = \nu RT$, где количество вещества $\nu = \frac{m}{M}$.

Состояние 1 (начальное):

Параметры: $p_1, V_1, T_1 = T$.

$p_1V_1 = \frac{m}{M}RT$

Состояние 2 (после изохорного охлаждения):

Процесс 1-2 изохорный, значит $V_2 = V_1$. Давление падает в $\text{n}$ раз, значит $p_2 = \frac{p_1}{n}$. Температура в этом состоянии - $T_2$.

$p_2V_2 = \frac{m}{M}RT_2$

Для изохорного процесса справедлив закон Шарля: $\frac{p_1}{T_1} = \frac{p_2}{T_2}$.

Подставим известные соотношения: $\frac{p_1}{T} = \frac{p_1/n}{T_2}$.

Отсюда найдем температуру $T_2$: $T_2 = \frac{T}{n}$.

Состояние 3 (конечное):

Процесс 2-3 изобарный, значит $p_3 = p_2$. Температура возвращается к первоначальной, $T_3 = T_1 = T$. Объем в этом состоянии - $V_3$.

$p_3V_3 = \frac{m}{M}RT_3 \implies p_2V_3 = \frac{m}{M}RT$

Теперь можем вычислить работу $A = A_{23} = p_2(V_3 - V_2) = p_2V_3 - p_2V_2$.

Используя уравнения состояния для состояний 2 и 3, подставим $p_2V_2$ и $p_2V_3$:

$p_2V_2 = \frac{m}{M}RT_2$

$p_2V_3 = \frac{m}{M}RT$

Тогда работа равна:

$A = \frac{m}{M}RT - \frac{m}{M}RT_2 = \frac{m}{M}R(T - T_2)$

Подставим ранее найденное значение для $T_2 = \frac{T}{n}$:

$A = \frac{m}{M}R(T - \frac{T}{n}) = \frac{m}{M}RT(1 - \frac{1}{n})$

Приводя выражение в скобках к общему знаменателю, получаем окончательный ответ:

$A = \frac{m}{M}RT\frac{n-1}{n} = \frac{n-1}{n}\frac{m}{M}RT$

Ответ: $A = \frac{n-1}{n}\frac{m}{M}RT$.