Номер 5, страница 249, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Кронгарт, Казахбаева

*5. Рассчитайте сколько воды можно унести в решете радиусом 10 см, если тонкие нити решета протянуты на расстоянии 1 мм друг от друга. Нити водой не смачиваются.

(Ответ: 460 г)

Дано:

Радиус решета: $R = 10 \text{ см}$

Расстояние между нитями: $a = 1 \text{ мм}$

В системе СИ:

$R = 0.1 \text{ м}$

$a = 0.001 \text{ м}$

Также используем справочные величины:

Коэффициент поверхностного натяжения воды: $\sigma \approx 0.073 \text{ Н/м}$

Плотность воды: $\rho = 1000 \text{ кг/м}^3$

Ускорение свободного падения: $g \approx 10 \text{ м/с}^2$ (для соответствия с ответом)

Найти:

Массу воды, которую можно унести в решете: $\text{m}$

Решение:

Вода удерживается в ячейках решета благодаря силам поверхностного натяжения. Решето можно представить как сетку с квадратными ячейками со стороной $\text{a}$. Поскольку нити не смачиваются, вода образует выпуклые вниз мениски в каждой ячейке. Вода не будет выливаться, пока создаваемое столбом воды гидростатическое давление $P_{гидр}$ не превысит дополнительное давление $\Delta P$, создаваемое силами поверхностного натяжения из-за искривления поверхности.

Условие равновесия: $P_{гидр} = \Delta P$.

Гидростатическое давление столба воды высотой $\text{h}$ равно: $P_{гидр} = \rho g h$.

Дополнительное давление под искривленной поверхностью определяется по формуле Лапласа. Для сложной поверхности в квадратной ячейке можно использовать упрощенную модель, которая дает для давления значение $\Delta P = \frac{2\sigma}{a}$. Эта модель рассматривает ячейку как щель шириной $\text{a}$.

Приравнивая давления, находим максимальную высоту столба воды, который может удержать решето:

$\rho g h = \frac{2\sigma}{a}$

Отсюда высота $\text{h}$ равна:

$h = \frac{2\sigma}{\rho g a}$

Общий объем воды, который можно унести, равен объему цилиндра с площадью основания, равной площади решета $S = \pi R^2$, и высотой $\text{h}$:

$V = S \cdot h = \pi R^2 h$

Масса этой воды определяется как $m = \rho \cdot V$. Подставим выражения для объема и высоты:

$m = \rho \cdot (\pi R^2) \cdot \frac{2\sigma}{\rho g a}$

Плотность $\rho$ сокращается, и мы получаем итоговую формулу для массы:

$m = \frac{2\pi R^2 \sigma}{g a}$

Теперь подставим числовые значения в систему СИ:

$m = \frac{2 \cdot \pi \cdot (0.1 \text{ м})^2 \cdot 0.073 \text{ Н/м}}{10 \text{ м/с}^2 \cdot 0.001 \text{ м}} = \frac{2 \cdot \pi \cdot 0.01 \text{ м}^2 \cdot 0.073 \text{ Н/м}}{0.01 \text{ м}^2/\text{с}^2}$

$m = 2 \cdot \pi \cdot 0.073 \text{ кг} \approx 2 \cdot 3.14159 \cdot 0.073 \text{ кг} \approx 0.4586 \text{ кг}$

Переведем массу в граммы:

$m \approx 0.4586 \text{ кг} \cdot 1000 \frac{\text{г}}{\text{кг}} \approx 458.6 \text{ г}$

Округляя результат, получаем значение, близкое к указанному в задаче.

Ответ: $m \approx 460 \text{ г}$.