Номер 3, страница 27, часть 2 - гдз по физике 10 класс учебник Кронгарт, Казахбаева

3. Докажите, что электрическое поле является потенциальным полем.

Решение

По определению, силовое поле является потенциальным (или консервативным), если работа, совершаемая силами этого поля при перемещении пробного тела (заряда) из одной точки в другую, не зависит от формы траектории, а определяется только начальным и конечным положением тела. Эквивалентное определение гласит, что работа сил поля по любому замкнутому контуру равна нулю.

Для электростатического поля, создаваемого неподвижными зарядами, это означает, что циркуляция вектора напряженности $\vec{E}$ по любому замкнутому контуру $\text{L}$ должна быть равна нулю: $ \oint_L \vec{E} \cdot d\vec{l} = 0 $ где $d\vec{l}$ — элемент перемещения.

Докажем это утверждение. Согласно принципу суперпозиции, любое сложное электростатическое поле можно представить как векторную сумму полей, создаваемых отдельными точечными зарядами. Поэтому достаточно доказать потенциальность поля одного точечного заряда.

Рассмотрим электростатическое поле, создаваемое точечным зарядом $\text{Q}$, расположенным в начале координат. Вектор напряженности этого поля в точке, определяемой радиус-вектором $\vec{r}$, равен: $ \vec{E} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Q}{r^2} \hat{r} $ где $\epsilon_0$ — электрическая постоянная, $r = |\vec{r}|$ — расстояние от заряда до точки, а $\hat{r} = \vec{r}/r$ — единичный вектор, направленный от заряда.

Вычислим работу $A_{12}$, совершаемую силами поля при перемещении пробного заряда $\text{q}$ из точки 1 в точку 2 по произвольной траектории. $ A_{12} = \int_{1}^{2} \vec{F} \cdot d\vec{l} = q \int_{1}^{2} \vec{E} \cdot d\vec{l} $ Подставим выражение для $\vec{E}$: $ A_{12} = q \int_{1}^{2} \left( \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Q}{r^2} \hat{r} \right) \cdot d\vec{l} $

Скалярное произведение $\hat{r} \cdot d\vec{l}$ представляет собой проекцию вектора элементарного перемещения $d\vec{l}$ на радиальное направление $\hat{r}$. Эта проекция равна изменению модуля радиус-вектора, то есть $dr$. $ \hat{r} \cdot d\vec{l} = dr $ Тогда подынтегральное выражение становится: $ \vec{E} \cdot d\vec{l} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Q}{r^2} dr $

Теперь интеграл для работы принимает вид: $ A_{12} = q \int_{r_1}^{r_2} \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Q}{r^2} dr = \frac{qQ}{4\pi\epsilon_0} \int_{r_1}^{r_2} \frac{dr}{r^2} $ где $r_1$ и $r_2$ — расстояния от заряда $\text{Q}$ до начальной (1) и конечной (2) точек соответственно.

Вычисляем интеграл: $ A_{12} = \frac{qQ}{4\pi\epsilon_0} \left[ -\frac{1}{r} \right]_{r_1}^{r_2} = \frac{qQ}{4\pi\epsilon_0} \left( -\frac{1}{r_2} - \left(-\frac{1}{r_1}\right) \right) = \frac{qQ}{4\pi\epsilon_0 r_1} - \frac{qQ}{4\pi\epsilon_0 r_2} $

Как видно из результата, работа $A_{12}$ зависит только от начального ($r_1$) и конечного ($r_2$) расстояний до заряда-источника и не зависит от формы траектории между точками 1 и 2. Это доказывает, что поле точечного заряда является потенциальным.

Если траектория замкнута, то начальная и конечная точки совпадают ($1=2$), следовательно $r_1=r_2$. В этом случае работа равна нулю: $ A = \frac{qQ}{4\pi\epsilon_0 r_1} - \frac{qQ}{4\pi\epsilon_0 r_1} = 0 $

Поскольку любое электростатическое поле является суперпозицией полей точечных зарядов, а работа — аддитивная величина, то работа полного поля при перемещении заряда по замкнутому контуру также будет равна нулю. Циркуляция вектора $\vec{E}$ для любого электростатического поля равна нулю. $ \oint_L \vec{E} \cdot d\vec{l} = \oint_L \left(\sum_i \vec{E_i}\right) \cdot d\vec{l} = \sum_i \left(\oint_L \vec{E_i} \cdot d\vec{l}\right) = \sum_i 0 = 0 $

Следовательно, электростатическое поле является потенциальным полем. Существование скалярной функции — потенциала $\phi$, такой что $\vec{E} = -\nabla\phi$, является прямым следствием этого свойства. Важно отметить, что это утверждение справедливо для электростатики (поля неподвижных зарядов). В электродинамике вихревые электрические поля, порождаемые переменным магнитным полем, не являются потенциальными.

Ответ: Доказано, что работа сил электростатического поля по перемещению заряда не зависит от формы траектории, а определяется только начальным и конечным положением заряда, и работа по замкнутому контуру равна нулю. Это по определению означает, что электростатическое поле является потенциальным.