Номер 3, страница 48, часть 2 - гдз по физике 10 класс учебник Кронгарт, Казахбаева

*3. Шар радиусом 10 см, заряженный до потенциала 10 кВ, соединили длинной проволокой с шаром радиусом 6 см, заряженным 14 кВ. На каком шаре после этого заряда будет больше, и на сколько?

(Ответ: на первом на 6,7 нКл)

Дано:

Радиус первого шара, $R_1 = 10 \text{ см}$

Начальный потенциал первого шара, $\phi_1 = 10 \text{ кВ}$

Радиус второго шара, $R_2 = 6 \text{ см}$

Начальный потенциал второго шара, $\phi_2 = 14 \text{ кВ}$

Электрическая постоянная, $k = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \approx 9 \cdot 10^9 \text{ Н}\cdot\text{м}^2/\text{Кл}^2$

Перевод в систему СИ:

$R_1 = 0.1 \text{ м}$

$\phi_1 = 10 \cdot 10^3 \text{ В} = 10^4 \text{ В}$

$R_2 = 0.06 \text{ м}$

$\phi_2 = 14 \cdot 10^3 \text{ В} = 1.4 \cdot 10^4 \text{ В}$

Найти:

На каком шаре заряд после соединения будет больше и на сколько? То есть, найти знак и величину разности зарядов $\Delta q = q'_1 - q'_2$.

Решение:

1. Сначала найдем начальные заряды каждого шара. Потенциал уединенного шара радиусом $\text{R}$ с зарядом $\text{q}$ определяется формулой $\phi = k \frac{q}{R}$. Отсюда заряд шара равен $q = \frac{\phi R}{k}$.

Начальный заряд первого шара:

$q_1 = \frac{\phi_1 R_1}{k} = \frac{10^4 \text{ В} \cdot 0.1 \text{ м}}{9 \cdot 10^9 \text{ Н}\cdot\text{м}^2/\text{Кл}^2} = \frac{1000}{9 \cdot 10^9} \text{ Кл} \approx 111.1 \text{ нКл}$.

Начальный заряд второго шара:

$q_2 = \frac{\phi_2 R_2}{k} = \frac{1.4 \cdot 10^4 \text{ В} \cdot 0.06 \text{ м}}{9 \cdot 10^9 \text{ Н}\cdot\text{м}^2/\text{Кл}^2} = \frac{840}{9 \cdot 10^9} \text{ Кл} \approx 93.3 \text{ нКл}$.

2. При соединении шаров проводником их заряды перераспределяются, но общий заряд системы сохраняется (согласно закону сохранения заряда).

$Q_{общ} = q_1 + q_2 = \frac{1000}{9 \cdot 10^9} + \frac{840}{9 \cdot 10^9} = \frac{1840}{9 \cdot 10^9} \text{ Кл}$.

3. После соединения шары и проволока образуют единый проводник, поэтому их потенциалы выравниваются и становятся равными некоторому значению $\phi'$.

4. Общий заряд системы после соединения можно выразить через общую ёмкость $C_{общ}$ и установившийся потенциал $\phi'$: $Q_{общ} = C_{общ} \phi'$. Ёмкость уединенного шара $C = \frac{R}{k}$. Общая ёмкость двух соединенных шаров (пренебрегая ёмкостью провода и их взаимным влиянием) равна сумме их ёмкостей: $C_{общ} = C_1 + C_2 = \frac{R_1}{k} + \frac{R_2}{k} = \frac{R_1 + R_2}{k}$.

5. Найдем установившийся потенциал $\phi'$:

$\phi' = \frac{Q_{общ}}{C_{общ}} = \frac{q_1 + q_2}{C_1 + C_2} = \frac{\frac{\phi_1 R_1}{k} + \frac{\phi_2 R_2}{k}}{\frac{R_1 + R_2}{k}} = \frac{\phi_1 R_1 + \phi_2 R_2}{R_1 + R_2}$.

Подставим числовые значения:

$\phi' = \frac{10^4 \text{ В} \cdot 0.1 \text{ м} + 1.4 \cdot 10^4 \text{ В} \cdot 0.06 \text{ м}}{0.1 \text{ м} + 0.06 \text{ м}} = \frac{1000 + 840}{0.16} = \frac{1840}{0.16} = 11500 \text{ В}$.

6. Теперь найдем конечные заряды на шарах, $q'_1$ и $q'_2$:

$q'_1 = C_1 \phi' = \frac{R_1 \phi'}{k} = \frac{0.1 \text{ м} \cdot 11500 \text{ В}}{9 \cdot 10^9 \text{ Н}\cdot\text{м}^2/\text{Кл}^2} = \frac{1150}{9 \cdot 10^9} \text{ Кл} \approx 127.8 \text{ нКл}$.

$q'_2 = C_2 \phi' = \frac{R_2 \phi'}{k} = \frac{0.06 \text{ м} \cdot 11500 \text{ В}}{9 \cdot 10^9 \text{ Н}\cdot\text{м}^2/\text{Кл}^2} = \frac{690}{9 \cdot 10^9} \text{ Кл} \approx 76.7 \text{ нКл}$.

7. Сравним конечные заряды. Так как $q'_1 \approx 127.8 \text{ нКл}$ и $q'_2 \approx 76.7 \text{ нКл}$, заряд на первом шаре будет больше.

8. Найдем, на сколько заряд на первом шаре больше, чем на втором:

$\Delta q = q'_1 - q'_2 = 127.8 \text{ нКл} - 76.7 \text{ нКл} \approx 51.1 \text{ нКл}$.

Более точный расчет:

$\Delta q = q'_1 - q'_2 = C_1 \phi' - C_2 \phi' = (C_1 - C_2)\phi' = \frac{(R_1 - R_2)\phi'}{k}$.

$\Delta q = \frac{(0.1 \text{ м} - 0.06 \text{ м}) \cdot 11500 \text{ В}}{9 \cdot 10^9 \text{ Н}\cdot\text{м}^2/\text{Кл}^2} = \frac{0.04 \cdot 11500}{9 \cdot 10^9} = \frac{460}{9 \cdot 10^9} \text{ Кл} \approx 51.1 \cdot 10^{-9} \text{ Кл}$.

Ответ: После соединения заряд будет больше на первом шаре (с большим радиусом) на $51.1$ нКл.