Номер 2, страница 48, часть 2 - гдз по физике 10 класс учебник Кронгарт, Казахбаева

2. Заряженные полые шары разного диаметра приведите в соприкосновение. Как распределится заряд между ними? Почему?

2. Дано:

Два заряженных полых проводящих шара.

Радиус первого шара: $R_1$

Радиус второго шара: $R_2$

Причем $R_1 \neq R_2$.

Начальный заряд первого шара: $q_1$

Начальный заряд второго шара: $q_2$

Общий начальный заряд системы: $Q = q_1 + q_2$

Найти:

Как распределится заряд между шарами после их соприкосновения? Обозначим новые заряды $q'_1$ и $q'_2$.

Решение:

Когда два проводящих шара приводят в соприкосновение, они образуют единую проводящую систему. Заряды могут свободно перемещаться между шарами. Этот процесс перераспределения зарядов будет продолжаться до тех пор, пока не установится электростатическое равновесие.

Основное условие электростатического равновесия для проводников заключается в том, что потенциалы всех точек соединенной системы должны быть одинаковы. Следовательно, после соприкосновения потенциалы на поверхности обоих шаров станут равными:

$\phi'_1 = \phi'_2$

Потенциал на поверхности уединенного проводящего шара радиусом $\text{R}$ с зарядом $\text{q}$ определяется по формуле:

$\phi = k \frac{q}{R}$

где $\text{k}$ – электростатическая постоянная ($k = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}$).

Применим эту формулу к нашим шарам после установления равновесия. Пусть их новые заряды будут $q'_1$ и $q'_2$, а радиусы $R_1$ и $R_2$. Тогда:

$\phi'_1 = k \frac{q'_1}{R_1}$

$\phi'_2 = k \frac{q'_2}{R_2}$

Из условия равенства потенциалов $\phi'_1 = \phi'_2$ следует:

$k \frac{q'_1}{R_1} = k \frac{q'_2}{R_2}$

Сократив $\text{k}$, получаем соотношение между новыми зарядами:

$\frac{q'_1}{R_1} = \frac{q'_2}{R_2}$ (1)

Это означает, что заряды распределятся прямо пропорционально радиусам шаров.

Кроме того, при соприкосновении шаров выполняется закон сохранения электрического заряда. Общий заряд системы до соприкосновения равен общему заряду после:

$q_1 + q_2 = q'_1 + q'_2$

Пусть общий заряд $Q = q_1 + q_2$. Тогда:

$q'_1 + q'_2 = Q$ (2)

Теперь у нас есть система из двух уравнений (1) и (2) с двумя неизвестными $q'_1$ и $q'_2$. Решим ее. Из уравнения (1) выразим $q'_2$:

$q'_2 = q'_1 \frac{R_2}{R_1}$

Подставим это выражение в уравнение (2):

$q'_1 + q'_1 \frac{R_2}{R_1} = Q$

$q'_1 \left(1 + \frac{R_2}{R_1}\right) = Q$

$q'_1 \left(\frac{R_1 + R_2}{R_1}\right) = Q$

Отсюда находим заряд на первом шаре:

$q'_1 = Q \frac{R_1}{R_1 + R_2}$

Аналогично, подставляя $q'_1 = q'_2 \frac{R_1}{R_2}$ в уравнение (2), найдем заряд на втором шаре:

$q'_2 = Q \frac{R_2}{R_1 + R_2}$

Таким образом, общий заряд $\text{Q}$ распределяется между шарами пропорционально их радиусам. Поскольку диаметр шара $\text{D}$ прямо пропорционален его радиусу ($D = 2R$), можно также сказать, что заряд распределяется пропорционально диаметрам шаров.

Почему это происходит?

Физическая причина такого распределения заключается в понятии электроемкости. Электроемкость уединенного шара $\text{C}$ пропорциональна его радиусу: $C = 4\pi\epsilon_0 R$. Заряд, потенциал и емкость связаны соотношением $q = C\phi$. Условие равенства потенциалов $\phi'_1 = \phi'_2$ можно переписать как $\frac{q'_1}{C_1} = \frac{q'_2}{C_2}$. Отсюда следует, что $\frac{q'_1}{q'_2} = \frac{C_1}{C_2}$. Так как $C \propto R$, то и $\frac{q'_1}{q'_2} = \frac{R_1}{R_2}$. Шар большего радиуса обладает большей электроемкостью, то есть способен "вместить" больший заряд при том же значении потенциала.

Ответ: После соприкосновения общий заряд шаров перераспределится таким образом, что заряды на каждом из шаров станут прямо пропорциональны их радиусам (или диаметрам). Это происходит потому, что при контакте потенциалы шаров выравниваются, а для достижения этого равновесия на шаре с большим радиусом (и, соответственно, большей электроемкостью) должен оказаться больший заряд.