Номер 1, страница 80, часть 2 - гдз по физике 10 класс учебник Кронгарт, Казахбаева

*1. Определите силу тока через резистор $R_3$ (рис. 62.2) и напряжение на резисторе $R_2$, если ЭДС источников тока $\mathcal{E}_1 = 4 \, \text{В}$ и $\mathcal{E}_2 = 3 \, \text{В}$, внутренние сопротивления $r_1 = 1 \, \text{Ом}$ и $r_2 = 0.5 \, \text{Ом}$, а сопротивления резисторов $R_1 = 2 \, \text{Ом}$, $R_2 = 1 \, \text{Ом}$, $R_3 = 6 \, \text{Ом}$.

Рис. 62.2

*1. Дано:

ЭДС первого источника: $ε_1 = 4$ В

ЭДС второго источника: $ε_2 = 3$ В

Внутреннее сопротивление первого источника: $r_1 = 1$ Ом

Внутреннее сопротивление второго источника: $r_2 = 0.5$ Ом

Сопротивление резистора $R_1 = 2$ Ом

Сопротивление резистора $R_2 = 1$ Ом

Сопротивление резистора $R_3 = 6$ Ом

Найти:

Силу тока через резистор $R_3$ - $I_3$

Напряжение на резисторе $R_2$ - $U_2$

Решение:

Для решения задачи используем метод узловых потенциалов. Примем потенциал общей нижней шины (соединяющей отрицательные полюсы источников и резисторы $R_1$, $R_2$) за ноль, $φ_{земли} = 0$ В.

Обозначим $φ_A$ потенциал узла, соединяющего источник $ε_2$ (через его внутреннее сопротивление $r_2$), резистор $R_2$ и резистор $R_3$. Обозначим $φ_B$ потенциал узла, соединяющего источник $ε_1$ (через его внутреннее сопротивление $r_1$), резистор $R_1$ и резистор $R_3$.

Согласно первому закону Кирхгофа, сумма токов, вытекающих из узла, равна нулю. Составим уравнения для узлов A и B.

Для узла A:

$\frac{φ_A - ε_2}{r_2} + \frac{φ_A}{R_2} + \frac{φ_A - φ_B}{R_3} = 0$

Подставим числовые значения:

$\frac{φ_A - 3}{0.5} + \frac{φ_A}{1} + \frac{φ_A - φ_B}{6} = 0$

$2(φ_A - 3) + φ_A + \frac{φ_A - φ_B}{6} = 0$

$3φ_A - 6 + \frac{φ_A - φ_B}{6} = 0$

Умножим все уравнение на 6:

$18φ_A - 36 + φ_A - φ_B = 0$

$19φ_A - φ_B = 36$ (1)

Для узла B:

$\frac{φ_B - ε_1}{r_1} + \frac{φ_B}{R_1} + \frac{φ_B - φ_A}{R_3} = 0$

Подставим числовые значения:

$\frac{φ_B - 4}{1} + \frac{φ_B}{2} + \frac{φ_B - φ_A}{6} = 0$

Умножим все уравнение на 6:

$6(φ_B - 4) + 3φ_B + (φ_B - φ_A) = 0$

$6φ_B - 24 + 3φ_B + φ_B - φ_A = 0$

$10φ_B - φ_A = 24$ (2)

Получили систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными $φ_A$ и $φ_B$:

$19φ_A - φ_B = 36$

$-\_A + 10φ_B = 24$

Из первого уравнения выразим $φ_B$: $φ_B = 19φ_A - 36$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$-φ_A + 10(19φ_A - 36) = 24$

$-φ_A + 190φ_A - 360 = 24$

$189φ_A = 384$

$φ_A = \frac{384}{189} = \frac{128}{63}$ В

Теперь найдем $φ_B$:

$φ_B = 19 \cdot \frac{128}{63} - 36 = \frac{2432}{63} - \frac{36 \cdot 63}{63} = \frac{2432 - 2268}{63} = \frac{164}{63}$ В

Теперь, зная потенциалы узлов, можем найти искомые величины.

1. Сила тока через резистор $R_3$.

Ток течет от точки с большим потенциалом к точке с меньшим. Так как $φ_B = \frac{164}{63}$ В, а $φ_A = \frac{128}{63}$ В, то $φ_B > φ_A$, следовательно, ток $I_3$ течет от узла B к узлу A.

$I_3 = \frac{φ_B - φ_A}{R_3} = \frac{\frac{164}{63} - \frac{128}{63}}{6} = \frac{\frac{36}{63}}{6} = \frac{36}{63 \cdot 6} = \frac{6}{63} = \frac{2}{21}$ А.

$I_3 \approx 0.095$ А.

2. Напряжение на резисторе $R_2$.

Резистор $R_2$ подключен между узлом A и землей (потенциал 0 В). Следовательно, напряжение на нем равно потенциалу узла A.

$U_2 = φ_A - 0 = φ_A = \frac{128}{63}$ В.

$U_2 \approx 2.03$ В.

Ответ: сила тока через резистор $R_3$ равна $I_3 = \frac{2}{21}$ А (приблизительно 0.095 А) и направлена от узла, к которому подключен $R_1$, к узлу, к которому подключен $R_2$; напряжение на резисторе $R_2$ равно $U_2 = \frac{128}{63}$ В (приблизительно 2.03 В).