Номер 3, страница 80, часть 2 - гдз по физике 10 класс учебник Кронгарт, Казахбаева

*3. Две батареи с ЭДС $E_1 = 10 \text{ В}$ и $E_2 = 8 \text{ В}$ и внутренними сопротивлениями $r_1 = 1 \text{ Ом}$ и $r_2 = 2 \text{ Ом}$ соединены с резистором сопротивлением $R = 6 \text{ Ом}$ так, как показано на рисунке 62.4. Найдите силу тока, текущего через резистор $\text{R}$

Рис. 62.4

Дано:

ЭДС первой батареи, $E_1 = 10$ В

ЭДС второй батареи, $E_2 = 8$ В

Внутреннее сопротивление первой батареи, $r_1 = 1$ Ом

Внутреннее сопротивление второй батареи, $r_2 = 2$ Ом

Сопротивление резистора, $R = 6$ Ом

Все данные приведены в системе СИ.

Найти:

Силу тока через резистор, $I_R$

Решение:

Данная электрическая схема состоит из трех параллельно соединенных ветвей. Обозначим узлы, к которым подключены ветви, как A (верхний) и B (нижний). Напряжение между этими узлами обозначим как $U = \phi_A - \phi_B$. Сила тока $I_R$, текущего через резистор $\text{R}$, определяется по закону Ома для участка цепи: $I_R = U/R$.

Для нахождения напряжения $\text{U}$ воспользуемся методом узловых потенциалов (обобщенным законом Ома). Согласно первому правилу Кирхгофа, алгебраическая сумма токов, вытекающих из узла, равна нулю. Запишем это правило для узла A:

$I_{ветвь 1} + I_{ветвь 2} + I_{ветвь R} = 0$

где $I_{ветвь 1}$, $I_{ветвь 2}$ и $I_{ветвь R}$ — токи, вытекающие из узла A по ветвям с элементами $(E_1, r_1)$, $(E_2, r_2)$ и $\text{R}$ соответственно. Направление тока из узла A в узел B примем за положительное.

Выразим каждый ток через напряжение $\text{U}$ и параметры ветви по закону Ома для полной цепи. ЭДС в этом законе берется с плюсом, если она направлена по току (от A к B), и с минусом, если против.

1. Ток через ветвь с резистором $\text{R}$:

$I_{ветвь R} = \frac{\phi_A - \phi_B}{R} = \frac{U}{R}$

2. Ток через ветвь с $E_2$ и $r_2$. Положительный полюс $E_2$ подключен к узлу A, поэтому ЭДС $E_2$ направлена против течения тока от A к B.

$I_{ветвь 2} = \frac{(\phi_A - \phi_B) - E_2}{r_2} = \frac{U - E_2}{r_2}$

3. Ток через ветвь с $E_1$ и $r_1$. Положительный полюс $E_1$ подключен к узлу B, то есть ЭДС $E_1$ направлена по току от A к B (отрицательный полюс у узла A).

$I_{ветвь 1} = \frac{(\phi_A - \phi_B) + E_1}{r_1} = \frac{U + E_1}{r_1}$

Подставим выражения для токов в уравнение первого правила Кирхгофа:

$\frac{U + E_1}{r_1} + \frac{U - E_2}{r_2} + \frac{U}{R} = 0$

Сгруппируем слагаемые с $\text{U}$:

$U \left( \frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2} + \frac{1}{R} \right) + \frac{E_1}{r_1} - \frac{E_2}{r_2} = 0$

Отсюда выразим напряжение $\text{U}$:

$U = \frac{\frac{E_2}{r_2} - \frac{E_1}{r_1}}{\frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2} + \frac{1}{R}}$

Подставим числовые значения:

$\frac{E_2}{r_2} - \frac{E_1}{r_1} = \frac{8 \text{ В}}{2 \text{ Ом}} - \frac{10 \text{ В}}{1 \text{ Ом}} = 4 \text{ А} - 10 \text{ А} = -6 \text{ А}$

$\frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2} + \frac{1}{R} = \frac{1}{1 \text{ Ом}} + \frac{1}{2 \text{ Ом}} + \frac{1}{6 \text{ Ом}} = \frac{6+3+1}{6} \text{ Ом}^{-1} = \frac{10}{6} \text{ Ом}^{-1}$

$U = \frac{-6 \text{ А}}{\frac{10}{6} \text{ Ом}^{-1}} = \frac{-6 \cdot 6}{10} \text{ В} = -3.6 \text{ В}$

Знак "минус" у напряжения $\text{U}$ означает, что потенциал узла A на самом деле ниже потенциала узла B $(\phi_A < \phi_B)$.

Теперь найдем силу тока, текущего через резистор $\text{R}$. Мы приняли направление тока от A к B.

$I_R = \frac{U}{R} = \frac{-3.6 \text{ В}}{6 \text{ Ом}} = -0.6 \text{ А}$

Знак "минус" указывает на то, что реальное направление тока через резистор $\text{R}$ противоположно выбранному, то есть от узла B к узлу A (снизу вверх на схеме). Величина (модуль) силы тока равна 0.6 А.

Ответ: Сила тока, текущего через резистор $\text{R}$, равна 0.6 А.