Номер 2, страница 80, часть 2 - гдз по физике 10 класс учебник Кронгарт, Казахбаева

*2. Найдите силу тока через резистор $\text{R}$ в схеме (рис. 62.3) и его направление, если $\mathcal{E}_1 = 1,5 \text{ В}$, $\mathcal{E}_2 = 3,7 \text{ В}$, $R = 10 \text{ Ом}$, $R_1 = 20 \text{ Ом}$, $R_2 = 5 \text{ Ом}$. Внутренние сопротивления источников тока не учитывать.

Рис. 62.3

Дано:

Все данные уже представлены в системе СИ:

ЭДС первого источника: $ε_1 = 1,5 \text{ В}$

ЭДС второго источника: $ε_2 = 3,7 \text{ В}$

Сопротивление первого резистора: $R_1 = 10 \text{ Ом}$

Сопротивление второго резистора: $R_2 = 20 \text{ Ом}$

Сопротивление третьего резистора: $R = 5 \text{ Ом}$

Внутренними сопротивлениями источников тока можно пренебречь.

Найти:

Силу тока через резистор $\text{R}$ и его направление ($I_R$ - ?).

Решение:

Для решения задачи воспользуемся методом узловых потенциалов. На схеме есть два узла, соединяющих три параллельные ветви. Обозначим потенциал верхнего узла как $φ_B$, а потенциал нижнего узла как $φ_A$. Примем потенциал нижнего узла равным нулю: $φ_A = 0$. Тогда напряжение между узлами будет равно $U = φ_B - φ_A = φ_B$.

Согласно первому закону Кирхгофа, алгебраическая сумма токов, сходящихся в узле, равна нулю. Запишем это уравнение для верхнего узла $\text{B}$, считая, что токи, вытекающие из узла, имеют положительный знак, а втекающие – отрицательный. Мы можем выразить токи в каждой ветви через разность потенциалов на концах ветви.

Пусть ток $I_R$ течет через резистор $\text{R}$ от узла $\text{B}$ к узлу $\text{A}$. Ток $I_1$ течет по ветви с резистором $R_1$, а ток $I_2$ — по ветви с резистором $R_2$.

Запишем уравнение для узла B:

$I_R + I_1 + I_2 = 0$

Выразим токи в каждой ветви через потенциал узла $φ_B$ и параметры цепи:

1. Ток через резистор $\text{R}$:

$I_R = \frac{φ_B - φ_A}{R} = \frac{φ_B}{R}$

2. Ток через ветвь с $R_1$ и $ε_1$. ЭДС $ε_1$ направлена к узлу B, поэтому она "помогает" создать потенциал $φ_B$. Разность потенциалов на резисторе $R_1$ равна $φ_B - ε_1$.

$I_1 = \frac{φ_B - ε_1}{R_1}$

3. Ток через ветвь с $R_2$ и $ε_2$. Аналогично первой ветви:

$I_2 = \frac{φ_B - ε_2}{R_2}$

Подставим выражения для токов в уравнение для узла B:

$\frac{φ_B}{R} + \frac{φ_B - ε_1}{R_1} + \frac{φ_B - ε_2}{R_2} = 0$

Сгруппируем слагаемые с $φ_B$:

$\frac{φ_B}{R} + \frac{φ_B}{R_1} - \frac{ε_1}{R_1} + \frac{φ_B}{R_2} - \frac{ε_2}{R_2} = 0$

$φ_B \cdot (\frac{1}{R} + \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}) = \frac{ε_1}{R_1} + \frac{ε_2}{R_2}$

Отсюда выразим потенциал $φ_B$:

$φ_B = \frac{\frac{ε_1}{R_1} + \frac{ε_2}{R_2}}{\frac{1}{R} + \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}}$

Подставим числовые значения:

$\frac{ε_1}{R_1} = \frac{1,5 \text{ В}}{10 \text{ Ом}} = 0,15 \text{ А}$

$\frac{ε_2}{R_2} = \frac{3,7 \text{ В}}{20 \text{ Ом}} = 0,185 \text{ А}$

$\frac{1}{R} = \frac{1}{5 \text{ Ом}} = 0,2 \text{ Ом}^{-1}$

$\frac{1}{R_1} = \frac{1}{10 \text{ Ом}} = 0,1 \text{ Ом}^{-1}$

$\frac{1}{R_2} = \frac{1}{20 \text{ Ом}} = 0,05 \text{ Ом}^{-1}$

$φ_B = \frac{0,15 \text{ А} + 0,185 \text{ А}}{0,2 \text{ Ом}^{-1} + 0,1 \text{ Ом}^{-1} + 0,05 \text{ Ом}^{-1}} = \frac{0,335 \text{ А}}{0,35 \text{ Ом}^{-1}} \approx 0,957 \text{ В}$

Теперь мы можем найти силу тока через резистор $\text{R}$, используя закон Ома для участка цепи:

$I_R = \frac{φ_B}{R}$

$I_R = \frac{0,957 \text{ В}}{5 \text{ Ом}} \approx 0,1914 \text{ А}$

Округлим до трех значащих цифр: $I_R \approx 0,191 \text{ А}$.

Так как полученное значение $φ_B$ положительно, это означает, что $φ_B > φ_A$. Ток всегда течет от точки с большим потенциалом к точке с меньшим потенциалом. Следовательно, ток $I_R$ через резистор $\text{R}$ направлен от верхнего узла к нижнему, то есть вниз по схеме.

Ответ: сила тока через резистор $\text{R}$ равна $0,191 \text{ А}$, направление тока — сверху вниз.