Номер 4, страница 80, часть 2 - гдз по физике 10 класс учебник Кронгарт, Казахбаева

4. Проводник длиной $\text{l}$ разрезали на 4 части. Три части соединили параллельно, а оставшуюся часть присоединили к ним последовательно. Как изменилось при этом сопротивление?

(Ответ: уменьшилось в 3 раза)

Дано:

Исходный проводник с сопротивлением $R_{нач}$.

Количество частей: $n=4$.

Найти:

Отношение начального сопротивления к конечному: $\frac{R_{нач}}{R_{кон}}$.

Решение:

Начальное сопротивление однородного проводника длиной $\text{l}$ и площадью поперечного сечения $\text{S}$ определяется формулой:

$R_{нач} = \rho \frac{l}{S}$, где $\rho$ – удельное сопротивление материала проводника.

Когда проводник разрезают на 4 равные части, длина каждой части становится $l' = \frac{l}{4}$, а площадь поперечного сечения $\text{S}$ и удельное сопротивление $\rho$ остаются прежними. Сопротивление каждой из четырех частей, обозначим его $\text{r}$, будет равно:

$r = \rho \frac{l'}{S} = \rho \frac{l/4}{S} = \frac{1}{4} \left( \rho \frac{l}{S} \right) = \frac{R_{нач}}{4}$.

Согласно условию, три части соединили параллельно. Найдем их общее сопротивление $R_{пар}$ по формуле для параллельного соединения:

$\frac{1}{R_{пар}} = \frac{1}{r} + \frac{1}{r} + \frac{1}{r} = \frac{3}{r}$.

Отсюда следует, что сопротивление параллельного участка равно:

$R_{пар} = \frac{r}{3}$.

Оставшуюся четвертую часть (с сопротивлением $\text{r}$) присоединили к этому параллельному участку последовательно. Конечное общее сопротивление цепи $R_{кон}$ будет равно сумме сопротивлений последовательно соединенных участков:

$R_{кон} = R_{пар} + r = \frac{r}{3} + r = \frac{r + 3r}{3} = \frac{4r}{3}$.

Теперь выразим конечное сопротивление $R_{кон}$ через начальное $R_{нач}$, подставив в полученное выражение $r = \frac{R_{нач}}{4}$:

$R_{кон} = \frac{4}{3} \cdot r = \frac{4}{3} \cdot \left( \frac{R_{нач}}{4} \right) = \frac{R_{нач}}{3}$.

Чтобы определить, как изменилось сопротивление, найдем отношение начального сопротивления к конечному:

$\frac{R_{нач}}{R_{кон}} = \frac{R_{нач}}{R_{нач}/3} = 3$.

Это означает, что конечное сопротивление стало в 3 раза меньше начального.

Ответ: сопротивление уменьшилось в 3 раза.