Номер 4, страница 145, часть 2 - гдз по физике 10 класс учебник Кронгарт, Казахбаева

*4. Контур, представляющий собой квадрат с перемычкой по диагонали, изготовлен из медной проволоки сечением 1 мм² и подключен к источнику постоянного напряжения 110 В (рис. 71.16). Плоскость квадрата параллельна линиям индукции магнитного поля с индукцией 2 мТл. Найдите модуль и направление силы, действующей на контур со стороны поля.

(Ответ: 22 Н)

Рис. 71.16

Дано:

Материал: медь

Сечение проволоки: $S = 1 \text{ мм}^2$

Напряжение: $U = 110 \text{ В}$

Индукция магнитного поля: $B = 2 \text{ мТл}$

Удельное сопротивление меди: $\rho \approx 1.72 \times 10^{-8} \text{ Ом} \cdot \text{м}$ (справочное значение)

Перевод в СИ:

$S = 1 \text{ мм}^2 = 1 \times (10^{-3} \text{ м})^2 = 10^{-6} \text{ м}^2$

$B = 2 \text{ мТл} = 2 \times 10^{-3} \text{ Тл}$

Найти:

Модуль и направление силы Ампера, $\text{F}$

Решение:

Контур состоит из трех параллельно соединенных участков, подключенных к источнику напряжения в точках $\text{a}$ и $\text{c}$: участок $abc$, участок $adc$ и перемычка $ac$.

Пусть сторона квадрата равна $\text{l}$. Тогда длина диагонали $ac$ равна $l\sqrt{2}$.

Введем координатную систему, как показано на рисунке, с центром в точке пересечения диагоналей. Пусть вершины имеют координаты: $a(0, -l/2)$, $b(-l/2, 0)$, $c(0, l/2)$, $d(l/2, 0)$. В этом случае длина стороны квадрата будет $l/\sqrt{2}$, а длина диагонали $\text{l}$. Для удобства пусть диагональ равна $2d'$, тогда $a(0, -d')$, $c(0, d')$, $b(-d', 0)$, $d(d', 0)$. Длина стороны квадрата будет $d'\sqrt{2}$.

Длины участков цепи:

Длина пути $abc$: $L_1 = L_{ab} + L_{bc} = d'\sqrt{2} + d'\sqrt{2} = 2d'\sqrt{2}$.

Длина пути $adc$: $L_1 = L_{ad} + L_{dc} = d'\sqrt{2} + d'\sqrt{2} = 2d'\sqrt{2}$.

Длина перемычки $ac$: $L_2 = 2d'$.

Сопротивления участков: $R = \rho \frac{L}{S}$.

$R_1 = \rho \frac{2d'\sqrt{2}}{S}$ (для участков $abc$ и $adc$)

$R_2 = \rho \frac{2d'}{S}$ (для перемычки $ac$)

Токи в участках:

$I_1 = \frac{U}{R_1} = \frac{US}{2d'\sqrt{2}\rho}$ (в ветвях $abc$ и $adc$)

$I_2 = \frac{U}{R_2} = \frac{US}{2d'\rho}$ (в перемычке $ac$)

Сила Ампера, действующая на проводник с током в магнитном поле, определяется формулой $\vec{F} = I (\vec{L} \times \vec{B})$.

Из рисунка видно, что вектор магнитной индукции $\vec{B}$ параллелен плоскости контура и направлен параллельно сторонам $ab$ и $dc$. Пусть $\vec{B}$ направлен параллельно вектору $\vec{L}_{ab}$.

Векторы сторон в нашей системе координат:

$\vec{L}_{ab} = (-d', d')$, $\vec{L}_{bc} = (d', d')$, $\vec{L}_{cd} = (d', -d')$, $\vec{L}_{da} = (-d', -d')$. Направления токов: $a \rightarrow b \rightarrow c$ и $a \rightarrow d \rightarrow c$.

Векторы участков с током: $\vec{L}_{ab} = (-d', d')$, $\vec{L}_{bc} = (d', d')$, $\vec{L}_{ad} = (d', d')$, $\vec{L}_{dc} = (-d', d')$.

Направление вектора $\vec{B}$ совпадает с направлением $\vec{L}_{ab}$ и $\vec{L}_{dc}$, то есть имеет вид $k(-1, 1)$.

1. Силы, действующие на стороны $ab$ и $dc$ (участок $a \rightarrow d \rightarrow c$):

Ток на участке $ab$ и на участке $dc$ течет параллельно вектору $\vec{B}$. Следовательно, угол между током и магнитной индукцией равен $\text{0}$ или $180^\circ$, и $\sin(0) = \sin(180^\circ) = 0$.

$F_{ab} = 0$, $F_{dc} = 0$.

2. Сила, действующая на сторону $ad$:

Вектор $\vec{L}_{ad} = (d', d')$. Вектор $\vec{B}$ имеет направление $(-1, 1)$. Их скалярное произведение $\vec{L}_{ad} \cdot \vec{B} = d'(-1) + d'(1) = 0$. Значит, векторы перпендикулярны, и угол между ними $90^\circ$.

$F_{ad} = I_1 L_{ad} B \sin(90^\circ) = I_1 (d'\sqrt{2}) B$. По правилу левой руки сила направлена перпендикулярно плоскости рисунка, на нас.

3. Сила, действующая на сторону $bc$:

Вектор $\vec{L}_{bc} = (d', d')$. Аналогично стороне $ad$, сила $F_{bc} = I_1 (d'\sqrt{2}) B$ и направлена на нас.

4. Сила, действующая на перемычку $ac$:

Вектор $\vec{L}_{ac} = (0, 2d')$. Угол $\alpha$ между $\vec{L}_{ac}$ и $\vec{B}$ (направление $(-1, 1)$) равен $135^\circ$. Но ток течет от $\text{a}$ к $\text{c}$, значит $\vec{L}_{ac}$ направлен вверх, а $\vec{B}$ - влево-вверх. Угол между ними $45^\circ$.

$F_{ac} = I_2 L_{ac} B \sin(45^\circ) = I_2 (2d') B \frac{\sqrt{2}}{2} = I_2 d' \sqrt{2} B$. Сила также направлена на нас.

Суммарная сила является суммой всех сил, так как они сонаправлены (все направлены перпендикулярно плоскости контура, на нас):

$F = F_{ad} + F_{bc} + F_{ac} = I_1 d'\sqrt{2} B + I_1 d'\sqrt{2} B + I_2 d'\sqrt{2} B = (2I_1 + I_2) d'\sqrt{2} B$.

Подставим выражения для токов $I_1$ и $I_2$:

$F = \left(2 \frac{US}{2d'\sqrt{2}\rho} + \frac{US}{2d'\rho}\right) d'\sqrt{2} B$

$F = \left(\frac{US}{d'\sqrt{2}\rho} + \frac{US}{2d'\rho}\right) d'\sqrt{2} B$

$F = \frac{US}{d'\rho} \left(\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{2}\right) d'\sqrt{2} B$

Неизвестный параметр $d'$ сокращается:

$F = \frac{USB}{\rho} \left(\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{2}\right) \sqrt{2} = \frac{USB}{\rho} \left(1 + \frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{USB}{\rho} \left(1 + \frac{1}{\sqrt{2}}\right)$

Подставим числовые значения:

$F = \frac{110 \text{ В} \times 10^{-6} \text{ м}^2 \times 2 \times 10^{-3} \text{ Тл}}{1.72 \times 10^{-8} \text{ Ом} \cdot \text{м}} \left(1 + \frac{1}{\sqrt{2}}\right)$

$F = \frac{220 \times 10^{-9}}{1.72 \times 10^{-8}} \left(1 + 0.7071\right) \approx 12.79 \times 1.7071 \approx 21.83 \text{ Н}$

Округляя до двух значащих цифр, получаем $F \approx 22 \text{ Н}$.

Направление силы: перпендикулярно плоскости контура, "на нас" (из плоскости рисунка).

Ответ: $F \approx 22 \text{ Н}$. Сила направлена перпендикулярно плоскости контура.