Номер 5, страница 145, часть 2 - гдз по физике 10 класс учебник Кронгарт, Казахбаева

*5. По кольцу радиусом $10 \text{ м}$, сделанному из медной проволоки сечением $1 \text{ мм}^2$, течет ток $10 \text{ А}$. Кольцо помещено в однородное магнитное поле так, что его ось совпадает с направлением поля. При каком максимальном значении индукции магнитного поля кольцо не разорвется? Прочность меди на разрыв $\sigma = 230 \text{ МН/м}^2$.

Дано:

Радиус кольца, $R = 10 \text{ м}$

Площадь поперечного сечения проволоки, $S = 1 \text{ мм}^2 = 1 \cdot 10^{-6} \text{ м}^2$

Сила тока в кольце, $I = 10 \text{ А}$

Прочность меди на разрыв, $\sigma = 230 \text{ МН/м}^2 = 230 \cdot 10^6 \text{ Н/м}^2 = 2.3 \cdot 10^8 \text{ Па}$

Найти:

Максимальное значение индукции магнитного поля, $B_{max}$

Решение:

Когда по кольцу, помещенному в магнитное поле, течет ток, на каждый элемент кольца действует сила Ампера. Условие, что ось кольца совпадает с направлением поля, означает, что вектор магнитной индукции $\text{B}$ перпендикулярен плоскости кольца и, следовательно, перпендикулярен любому элементу тока $I dl$ в кольце. По правилу левой руки, сила Ампера $dF_A$ будет направлена радиально от центра кольца, вызывая его растяжение.

Величина силы Ампера, действующей на элемент провода длиной $dl$, равна $dF_A = I B dl$, так как угол между направлением тока и вектором индукции поля равен $90^\circ$.

Эта распределенная по всему кольцу сила создает в материале проволоки механическое напряжение натяжения. Чтобы найти связь между силой Ампера и силой натяжения $\text{T}$ в проволоке, рассмотрим равновесие половины кольца. На полукольцо длиной $L = \pi R$ действует суммарная растягивающая сила со стороны магнитного поля. Чтобы ее найти, проинтегрируем проекцию элементарной силы $dF_A$ на направление, перпендикулярное диаметру, разделяющему полукольца. Сила, действующая на дугу $dl = R d\phi$ в точке с угловой координатой $\phi$, равна $dF_A = I B R d\phi$. Ее проекция на ось симметрии полукольца равна $dF_{y} = dF_A \sin(\phi) = I B R \sin(\phi) d\phi$.

Суммарная растягивающая сила, действующая на полукольцо, равна интегралу от этой проекции по всей длине полукольца (от $\phi = 0$ до $\phi = \pi$):

$F_{растяж} = \int_{0}^{\pi} I B R \sin(\phi) d\phi = I B R [-\cos(\phi)]_{0}^{\pi} = I B R (-\cos(\pi) - (-\cos(0))) = I B R (1 - (-1)) = 2 I B R$

Эта сила уравновешивается двумя силами натяжения $\text{T}$, действующими в двух поперечных сечениях на концах рассматриваемого полукольца: $F_{растяж} = 2T$.

Следовательно, $2T = 2 I B R$, откуда получаем выражение для силы натяжения в проволоке:

$T = I B R$

Механическое напряжение $\sigma_{мех}$ в проволоке определяется как отношение силы натяжения $\text{T}$ к площади поперечного сечения $\text{S}$:

$\sigma_{мех} = \frac{T}{S} = \frac{I B R}{S}$

Кольцо не разорвется, если создаваемое механическое напряжение не превысит предел прочности меди на разрыв $\sigma$:

$\sigma_{мех} \le \sigma$

Максимальное значение индукции магнитного поля $B_{max}$ соответствует предельному случаю, когда механическое напряжение равно пределу прочности:

$\frac{I B_{max} R}{S} = \sigma$

Из этого уравнения выразим искомое значение $B_{max}$:

$B_{max} = \frac{\sigma S}{I R}$

Подставим числовые значения из условия задачи в систему СИ:

$B_{max} = \frac{2.3 \cdot 10^8 \text{ Н/м}^2 \cdot 1 \cdot 10^{-6} \text{ м}^2}{10 \text{ А} \cdot 10 \text{ м}} = \frac{230 \text{ Н}}{100 \text{ А} \cdot \text{м}} = 2.3 \text{ Тл}$

Ответ: максимальное значение индукции магнитного поля, при котором кольцо не разорвется, составляет 2.3 Тл.