Номер 11, страница 157, часть 2 - гдз по физике 10 класс учебник Кронгарт, Казахбаева

*11. Шарик массой $m = 10 \text{ г}$ и зарядом $q = 1 \text{ мкКл}$ подвешен на невесомой шелковой нити длиной $l = 50 \text{ см}$ и помещен в однородное горизонтальное магнитное поле с индукцией $B = 0.1 \text{ Тл}$. Когда шарик находится в положении равновесия, ему сообщают скорость $v_0$, направленную перпендикулярно (рис. 72.12). При каких значениях скорости $v_0$ шарик совершит полный оборот вокруг точки подвеса?

(Ответ: $v_0 \ge 5 \text{ м/с}$)

Рис. 72.12

Дано:

$m = 10$ г

$q = 1$ мкКл

$l = 50$ см

$B = 0,1$ Тл

Перевод в систему СИ:

$m = 0,01$ кг

$q = 1 \cdot 10^{-6}$ Кл

$l = 0,5$ м

Найти:

$v_0$

Решение:

На шарик, движущийся в поле тяжести и магнитном поле, действуют три силы: сила тяжести $\vec{F_g} = m\vec{g}$, сила натяжения нити $\vec{T}$ и сила Лоренца $\vec{F_Л} = q(\vec{v} \times \vec{B})$.

Шарик движется по окружности в вертикальной плоскости. Вектор магнитной индукции $\vec{B}$ перпендикулярен плоскости движения (направлен от нас, как показано на рисунке). Скорость шарика $\vec{v}$ всегда направлена по касательной к траектории. Согласно правилу левой руки (для положительного заряда), сила Лоренца $\vec{F_Л}$ будет направлена перпендикулярно скорости $\vec{v}$ в плоскости движения, то есть по радиусу от центра вращения (от точки подвеса).

Для того чтобы шарик совершил полный оборот, сила натяжения нити должна быть неотрицательной в любой точке траектории: $T \geq 0$. Наименьшее значение сила натяжения принимает в верхней точке траектории, так как в этой точке скорость минимальна, а составляющая силы тяжести, направленная вдоль нити, максимальна и сонаправлена с силой натяжения.

Запишем второй закон Ньютона для шарика в верхней точке траектории в проекции на радиальное направление (которое направлено вертикально вниз, к центру окружности). Обозначим скорость в верхней точке как $v_в$.

Сила натяжения $T_в$ и сила тяжести $mg$ направлены вниз, а сила Лоренца $F_Л$ — вверх. Уравнение движения имеет вид:

$T_в + mg - F_Л = ma_ц$

где $a_ц = \frac{v_в^2}{l}$ — центростремительное ускорение, а $F_Л = qv_в B$.

$T_в + mg - qv_в B = \frac{mv_в^2}{l}$

Условие совершения полного оборота $T_в \geq 0$ приводит к неравенству:

$\frac{mv_в^2}{l} + qv_в B - mg \geq 0$

Свяжем скорость в нижней точке $v_0$ и в верхней точке $v_в$ с помощью закона сохранения энергии. Работа силы Лоренца и силы натяжения нити равна нулю, так как они перпендикулярны вектору скорости. Работа совершается только консервативной силой тяжести. Выберем нулевой уровень потенциальной энергии в нижней точке траектории. Тогда высота подъема в верхнюю точку составит $h = 2l$.

$\frac{mv_0^2}{2} = \frac{mv_в^2}{2} + mg(2l)$

Отсюда выразим квадрат скорости в верхней точке:

$v_в^2 = v_0^2 - 4gl$

Минимально необходимая начальная скорость $v_0$ соответствует минимально возможной скорости в верхней точке $v_в$, при которой выполняется условие $T_в \geq 0$. Найдем эту скорость из уравнения, соответствующего $T_в = 0$:

$\frac{m}{l}v_в^2 + qB v_в - mg = 0$

Подставим числовые значения в уравнение:

$\frac{0,01}{0,5}v_в^2 + (1 \cdot 10^{-6} \cdot 0,1) v_в - (0,01 \cdot 10) = 0$

$0,02 v_в^2 + 10^{-7} v_в - 0,1 = 0$

Для оценки решения можно заметить, что член $10^{-7}v_в$ чрезвычайно мал по сравнению с двумя другими. Если им пренебречь, получим:

$0,02 v_в^2 \approx 0,1 \implies v_в^2 \approx \frac{0,1}{0,02} = 5 \implies v_в \approx \sqrt{5} \approx 2,24$ м/с.

При такой скорости значение слагаемого $10^{-7}v_в \approx 2,24 \cdot 10^{-7}$ действительно пренебрежимо мало по сравнению с $0,1$. Таким образом, влиянием магнитного поля на критическую скорость в данном случае можно пренебречь.

Условие совершения оборота упрощается до:

$\frac{mv_в^2}{l} \geq mg \implies v_в^2 \geq gl$

Теперь подставим это минимальное значение $v_в^2$ в закон сохранения энергии:

$v_0^2 = v_в^2 + 4gl \geq gl + 4gl = 5gl$

$v_0 \geq \sqrt{5gl}$

Вычислим минимальное значение начальной скорости:

$v_{0,min} = \sqrt{5 \cdot 10 \, \text{м/с}^2 \cdot 0,5 \, \text{м}} = \sqrt{25 \, \text{м}^2/\text{с}^2} = 5 \, \text{м/с}$

Таким образом, шарик совершит полный оборот при начальной скорости $v_0 \geq 5$ м/с.

Ответ: $v_0 \geq 5$ м/с.