Номер 4, страница 156, часть 2 - гдз по физике 10 класс учебник Кронгарт, Казахбаева

4. Электрон движется в магнитном поле, индукция которого 2 мТл по винтовой линии радиусом 2 см и шагом винта 5 см. Определите скорость электрона.

(Ответ: 7,6 Мм/с)

Дано:

Магнитная индукция $B = 2 \text{ мТл}$

Радиус винтовой линии $R = 2 \text{ см}$

Шаг винта $h = 5 \text{ см}$

Заряд электрона $|q| = e = 1.6 \cdot 10^{-19} \text{ Кл}$

Масса электрона $m = 9.11 \cdot 10^{-31} \text{ кг}$

Перевод в систему СИ:

$B = 2 \cdot 10^{-3} \text{ Тл}$

$R = 2 \cdot 10^{-2} \text{ м} = 0.02 \text{ м}$

$h = 5 \cdot 10^{-2} \text{ м} = 0.05 \text{ м}$

Найти:

Скорость электрона $\text{v}$

Решение:

Движение электрона по винтовой линии в магнитном поле можно разложить на два независимых движения: равномерное движение по окружности в плоскости, перпендикулярной вектору магнитной индукции $\vec{B}$, и равномерное прямолинейное движение вдоль направления поля. Скорость электрона $\vec{v}$ можно представить как сумму двух компонент: перпендикулярной $\vec{v}_{\perp}$ и параллельной $\vec{v}_{\parallel}$ вектору $\vec{B}$. Модуль полной скорости находится по теореме Пифагора:

$v = \sqrt{v_{\perp}^2 + v_{\parallel}^2}$

1. Найдем перпендикулярную составляющую скорости $v_{\perp}$.

Движение по окружности происходит под действием силы Лоренца, которая выполняет роль центростремительной силы. Запишем второй закон Ньютона:

$F_Л = F_ц$

$|q| v_{\perp} B = \frac{m v_{\perp}^2}{R}$

Из этого уравнения выразим $v_{\perp}$:

$v_{\perp} = \frac{|q| B R}{m}$

Подставим числовые значения:

$v_{\perp} = \frac{1.6 \cdot 10^{-19} \text{ Кл} \cdot 2 \cdot 10^{-3} \text{ Тл} \cdot 0.02 \text{ м}}{9.11 \cdot 10^{-31} \text{ кг}} \approx 7.025 \cdot 10^6 \text{ м/с}$

2. Найдем параллельную составляющую скорости $v_{\parallel}$.

Шаг винта $\text{h}$ — это расстояние, которое электрон проходит вдоль линии поля за время одного полного оборота (период $\text{T}$).

$h = v_{\parallel} T$

Период обращения можно найти как отношение длины окружности к скорости движения по ней:

$T = \frac{2 \pi R}{v_{\perp}}$

Также период можно выразить через параметры поля и частицы, подставив в формулу для $\text{T}$ выражение для $v_{\perp}$:

$T = \frac{2 \pi R}{\frac{|q| B R}{m}} = \frac{2 \pi m}{|q| B}$

Теперь выразим $v_{\parallel}$:

$v_{\parallel} = \frac{h}{T} = \frac{h |q| B}{2 \pi m}$

Подставим числовые значения:

$v_{\parallel} = \frac{0.05 \text{ м} \cdot 1.6 \cdot 10^{-19} \text{ Кл} \cdot 2 \cdot 10^{-3} \text{ Тл}}{2 \pi \cdot 9.11 \cdot 10^{-31} \text{ кг}} \approx 2.796 \cdot 10^6 \text{ м/с}$

3. Найдем полную скорость $\text{v}$.

$v = \sqrt{v_{\perp}^2 + v_{\parallel}^2} = \sqrt{(7.025 \cdot 10^6)^2 + (2.796 \cdot 10^6)^2} \text{ м/с}$

$v = \sqrt{49.35 \cdot 10^{12} + 7.82 \cdot 10^{12}} \text{ м/с} = \sqrt{57.17 \cdot 10^{12}} \text{ м/с} \approx 7.56 \cdot 10^6 \text{ м/с}$

Переведем результат в мегаметры в секунду ($1 \text{ Мм/с} = 10^6 \text{ м/с}$):

$v \approx 7.6 \text{ Мм/с}$

Ответ: скорость электрона приблизительно равна $7.6 \text{ Мм/с}$.