Номер 8, страница 157, часть 2 - гдз по физике 10 класс учебник Кронгарт, Казахбаева

*8. Небольшое тело массой $m = 20$ г и зарядом $q = 1$ мкКл подвешено на невесомой диэлектрической нити длиной $l = 50$ см и помещено в однородное магнитное поле с индукцией $B = 0,1$ Тл, силовые линии которого перпендикулярны силе тяжести. Тело отклонили на натянутой нити от положения равновесия до высоты $h = 10$ см в плоскости, перпендикулярной (рис. 72.10), и опустили без начальной скорости. Найдите силу натяжения нити при движении тела, когда оно проходит положение равновесия.

(Ответ: $0,27$ Н)

Рис. 72.10

Дано:

$m = 20$ г

$q = 1$ мкКл

$l = 50$ см

$B = 0,1$ Тл

$h = 10$ см

Перевод в систему СИ:

$m = 0,02$ кг

$q = 1 \cdot 10^{-6}$ Кл

$l = 0,5$ м

$h = 0,1$ м

Найти:

$\text{T}$

Решение:

Сначала найдем скорость тела $\text{v}$ в момент прохождения положения равновесия (нижней точки траектории). При движении тела от начального положения до положения равновесия на него действуют сила тяжести, сила натяжения нити и сила Лоренца. Работа силы натяжения нити равна нулю, так как эта сила всегда перпендикулярна вектору скорости. Работа силы Лоренца $F_Л = q(\vec{v} \times \vec{B})$ также равна нулю, так как сила Лоренца всегда перпендикулярна скорости $\vec{v}$. Следовательно, выполняется закон сохранения механической энергии: начальная потенциальная энергия тела $E_п$ переходит в его кинетическую энергию $E_к$ в нижней точке. Примем за нулевой уровень потенциальной энергии положение равновесия.

$E_п = E_к$

$mgh = \frac{mv^2}{2}$

Отсюда выразим скорость тела $\text{v}$ в положении равновесия:

$v = \sqrt{2gh}$

Теперь рассмотрим силы, действующие на тело в положении равновесия. На тело действуют три силы: сила тяжести $m\vec{g}$ (направлена вертикально вниз), сила натяжения нити $\vec{T}$ (направлена вертикально вверх) и сила Лоренца $\vec{F}_Л$.

Направление силы Лоренца определяется по правилу левой руки (или через векторное произведение). Согласно рисунку, скорость $\vec{v}$ в нижней точке направлена горизонтально (влево), а вектор магнитной индукции $\vec{B}$ — перпендикулярно плоскости качания "от нас". Для положительного заряда $\text{q}$ сила Лоренца будет направлена вертикально вниз. Ее модуль равен $F_Л = qvB\sin\alpha$. Поскольку вектор скорости перпендикулярен вектору магнитной индукции, угол между ними $\alpha = 90^\circ$ и $\sin\alpha = 1$. Таким образом, $F_Л = qvB$.

В нижней точке траектории тело движется по дуге окружности радиусом $\text{l}$. Следовательно, равнодействующая сил, направленных по радиусу к центру окружности, создает центростремительное ускорение $a_ц = \frac{v^2}{l}$. Запишем второй закон Ньютона в проекции на вертикальную ось, направленную вверх (к центру окружности):

$T - mg - F_Л = ma_ц$

Подставим выражения для $F_Л$ и $a_ц$:

$T - mg - qvB = \frac{mv^2}{l}$

Выразим искомую силу натяжения нити $\text{T}$:

$T = mg + qvB + \frac{mv^2}{l}$

Произведем вычисления. Примем ускорение свободного падения $g = 9,8 \, м/с^2$.

Найдем скорость:

$v = \sqrt{2 \cdot 9,8 \, м/с^2 \cdot 0,1 \, м} = \sqrt{1,96} \, м/с = 1,4 \, м/с$

Теперь рассчитаем значение силы натяжения:

$T = 0,02 \, кг \cdot 9,8 \, м/с^2 + (1 \cdot 10^{-6} \, Кл \cdot 1,4 \, м/с \cdot 0,1 \, Тл) + \frac{0,02 \, кг \cdot (1,4 \, м/с)^2}{0,5 \, м}$

$T = 0,196 \, Н + 1,4 \cdot 10^{-7} \, Н + \frac{0,02 \cdot 1,96}{0,5} \, Н$

$T = 0,196 \, Н + 1,4 \cdot 10^{-7} \, Н + 0,0784 \, Н$

$T = 0,27440014 \, Н$

Как видно из расчетов, слагаемое, отвечающее за силу Лоренца ($1,4 \cdot 10^{-7} \, Н$), пренебрежимо мало. Округляя полученный результат до сотых, получаем $T \approx 0,27 \, Н$.

Ответ: 0,27 Н.