Номер 9, страница 157, часть 2 - гдз по физике 10 класс учебник Кронгарт, Казахбаева

*9. Для определения отношения заряда электрона к его массе пучок электронов разгоняют между катодом и анодом электронно-лучевой трубки. При вылете из трубки электроны попадают в область однородного магнитного поля с индукцией $0,5 \text{ мТл}$, силовые линии которого перпендикулярны скорости пучка. При этом световое пятно на экране, находящемся за анодом, смещается на $7,5 \text{ мм}$ (относительно положения, когда магнитное поле отсутствует). Определите отношение $\frac{|e|}{m}$, если напряжение между анодом и катодом трубки $10 \text{ кВ}$, а расстояние между анодом и экраном $10 \text{ см}$.

(Ответ: $1,8 \cdot 10^1 \text{ Кл/кг}$)

Дано:

Индукция магнитного поля, $B = 0.5 \text{ мТл}$

Смещение светового пятна, $y = 7.5 \text{ мм}$

Ускоряющее напряжение, $U = 10 \text{ кВ}$

Расстояние от анода до экрана, $L = 10 \text{ см}$

Переведем все данные в систему СИ:

$B = 0.5 \cdot 10^{-3} \text{ Тл}$

$y = 7.5 \cdot 10^{-3} \text{ м}$

$U = 10 \cdot 10^3 \text{ В} = 10^4 \text{ В}$

$L = 0.1 \text{ м}$

Найти:

Отношение заряда электрона к его массе $\frac{|e|}{m}$.

Решение:

1. Электроны, испущенные катодом, ускоряются электрическим полем между катодом и анодом. По закону сохранения энергии, работа электрического поля идет на увеличение кинетической энергии электрона. Начальную скорость электронов считаем равной нулю.

$|e|U = \frac{mv^2}{2}$

где $|e|$ – модуль заряда электрона, $\text{m}$ – масса электрона, $\text{U}$ – ускоряющее напряжение, $\text{v}$ – скорость электрона при вылете из анода.

2. При попадании в однородное магнитное поле, перпендикулярное скорости, на электрон начинает действовать сила Лоренца:

$F_L = |e|vB$

Эта сила перпендикулярна вектору скорости и сообщает электрону центростремительное ускорение. В результате электрон движется по дуге окружности радиусом $\text{R}$. Согласно второму закону Ньютона:

$|e|vB = \frac{mv^2}{R}$

Отсюда можно выразить радиус траектории:

$R = \frac{mv}{|e|B}$

3. Выразим из первого уравнения скорость $\text{v}$ и подставим во второе.

Из $|e|U = \frac{mv^2}{2}$ следует $v^2 = \frac{2|e|U}{m}$.

Из $|e|vB = \frac{mv^2}{R}$ следует $\frac{|e|}{m} = \frac{v}{BR}$. Возведем в квадрат: $(\frac{|e|}{m})^2 = \frac{v^2}{B^2 R^2}$.

Подставим выражение для $v^2$:

$(\frac{|e|}{m})^2 = \frac{2|e|U}{m B^2 R^2}$

Сократив на $\frac{|e|}{m}$, получим формулу для удельного заряда:

$\frac{|e|}{m} = \frac{2U}{B^2 R^2}$

4. Теперь найдем радиус кривизны $\text{R}$ из геометрии задачи. Электрон, двигаясь по дуге окружности, проходит горизонтальное расстояние $\text{L}$ и смещается по вертикали на расстояние $\text{y}$. Для окружности радиуса $\text{R}$ справедливо соотношение (по теореме Пифагора для треугольника с вершинами в центре окружности, точке влета и точке вылета):

$L^2 + (R-y)^2 = R^2$

$L^2 + R^2 - 2Ry + y^2 = R^2$

$L^2 + y^2 = 2Ry$

$R = \frac{L^2 + y^2}{2y}$

Поскольку смещение $y = 7.5 \text{ мм}$ значительно меньше расстояния до экрана $L = 100 \text{ мм}$, можно пренебречь слагаемым $y^2$ по сравнению с $L^2$.

$R \approx \frac{L^2}{2y}$

5. Подставим это выражение для радиуса в формулу для удельного заряда:

$\frac{|e|}{m} \approx \frac{2U}{B^2 (\frac{L^2}{2y})^2} = \frac{2U \cdot 4y^2}{B^2 L^4} = \frac{8Uy^2}{B^2 L^4}$

6. Выполним численный расчет:

$\frac{|e|}{m} = \frac{8 \cdot 10^4 \text{ В} \cdot (7.5 \cdot 10^{-3} \text{ м})^2}{(0.5 \cdot 10^{-3} \text{ Тл})^2 \cdot (0.1 \text{ м})^4} = \frac{8 \cdot 10^4 \cdot 56.25 \cdot 10^{-6}}{0.25 \cdot 10^{-6} \cdot 10^{-4}} \text{ Кл/кг}$

$\frac{|e|}{m} = \frac{450 \cdot 10^{-2}}{0.25 \cdot 10^{-10}} \text{ Кл/кг} = \frac{4.5}{0.25 \cdot 10^{-10}} \text{ Кл/кг} = 18 \cdot 10^{10} \text{ Кл/кг} = 1.8 \cdot 10^{11} \text{ Кл/кг}$

Ответ: $\frac{|e|}{m} \approx 1.8 \cdot 10^{11} \text{ Кл/кг}$.