Номер 5, страница 156, часть 2 - гдз по физике 10 класс учебник Кронгарт, Казахбаева

5. Заряженные частицы, заряд которых $3,2 \cdot 10^{-19} \text{ Кл}$, ускоряются в циклотроне в однородном магнитном поле с индукцией 0,1 Тл и частотой ускоряющего напряжения 6 МГц. Найдите кинетическую энергию частиц в момент, когда они движутся по радиусу 2 м.

(Ответ: 2,4 пДж)

Дано:

Заряд частицы $q = 3,2 \cdot 10^{-19}$ Кл

Индукция магнитного поля $B = 0,1$ Тл

Частота ускоряющего напряжения $f = 6$ МГц

Радиус траектории $R = 2$ м

Перевод в систему СИ:

$f = 6 \text{ МГц} = 6 \cdot 10^6$ Гц

Найти:

Кинетическую энергию $E_k$.

Решение:

Движение заряженной частицы в циклотроне происходит по круговой траектории под действием силы Лоренца, которая выступает в роли центростремительной силы. Запишем второй закон Ньютона для частицы, движущейся по окружности радиусом $\text{R}$:

$F_Л = F_ц$

$q v B = \frac{m v^2}{R}$

где $\text{q}$ – заряд частицы, $\text{v}$ – её скорость, $\text{B}$ – индукция магнитного поля, а $\text{m}$ – масса частицы.

Из этого уравнения выразим импульс частицы $p = mv$:

$mv = qBR$

Кинетическая энергия частицы вычисляется по формуле:

$E_k = \frac{mv^2}{2} = \frac{(mv)^2}{2m}$

Подставим в эту формулу выражение для импульса:

$E_k = \frac{(qBR)^2}{2m}$

Для нахождения массы частицы $\text{m}$ используем условие резонанса в циклотроне. Частота ускоряющего напряжения $\text{f}$ должна быть равна циклотронной частоте $\nu_c$ – частоте обращения частицы по орбите.

Циклотронная частота связана с параметрами системы через формулу:

$\nu_c = \frac{qB}{2\pi m}$

Приравнивая $\text{f}$ и $\nu_c$, получаем:

$f = \frac{qB}{2\pi m}$

Из этого соотношения выразим массу $\text{m}$:

$m = \frac{qB}{2\pi f}$

Теперь подставим выражение для массы $\text{m}$ в формулу для кинетической энергии:

$E_k = \frac{(qBR)^2}{2 \left( \frac{qB}{2\pi f} \right)} = \frac{q^2 B^2 R^2 \cdot 2\pi f}{2qB} = \pi f q B R^2$

Подставим числовые значения в полученную формулу:

$E_k = \pi \cdot (6 \cdot 10^6 \text{ Гц}) \cdot (3,2 \cdot 10^{-19} \text{ Кл}) \cdot (0,1 \text{ Тл}) \cdot (2 \text{ м})^2$

$E_k = \pi \cdot 6 \cdot 10^6 \cdot 3,2 \cdot 10^{-19} \cdot 0,1 \cdot 4 \text{ Дж}$

$E_k = (6 \cdot 3,2 \cdot 0,1 \cdot 4) \cdot \pi \cdot 10^{6-19} \text{ Дж} = 7,68 \cdot \pi \cdot 10^{-13} \text{ Дж}$

Вычислим значение, используя $\pi \approx 3,14159$:

$E_k \approx 7,68 \cdot 3,14159 \cdot 10^{-13} \text{ Дж} \approx 24,13 \cdot 10^{-13} \text{ Дж} \approx 2,413 \cdot 10^{-12} \text{ Дж}$

Поскольку $1 \text{ пДж} = 10^{-12} \text{ Дж}$, то, округлив результат до десятых, получаем:

$E_k \approx 2,4 \text{ пДж}$

Ответ: $2,4$ пДж.