Номер 1, страница 156, часть 2 - гдз по физике 10 класс учебник Кронгарт, Казахбаева

1. Электрон проходит ускоряющую разность потенциалов $1\text{ кВ}$ и влетает в однородное магнитное поле с индукцией $10\text{ мТл}$ под углом $30^\circ$ к силовым линиям. Определите радиус спирали, по которой будет двигаться электрон.

(Ответ: $2,13\text{ см}$)

Дано:

Ускоряющая разность потенциалов $U = 1 \text{ кВ}$

Индукция магнитного поля $B = 10 \text{ мТл}$

Угол $\alpha = 30o $

Заряд электрона $e \approx 1.6 \cdot 10^{-19} \text{ Кл}$

Масса электрона $m_e \approx 9.1 \cdot 10^{-31} \text{ кг}$

Переведем значения в систему СИ:

$U = 1 \cdot 10^3 \text{ В}$

$B = 10 \cdot 10^{-3} \text{ Тл} = 0.01 \text{ Тл}$

Найти:

Радиус спирали $\text{R}$.

Решение:

1. Когда электрон проходит ускоряющую разность потенциалов, он приобретает кинетическую энергию. По закону сохранения энергии, работа электрического поля равна приобретенной кинетической энергии:

$eU = \frac{m_e v^2}{2}$

Отсюда можно выразить скорость электрона $\text{v}$ после ускорения:

$v = \sqrt{\frac{2eU}{m_e}}$

2. Электрон влетает в магнитное поле под углом $\alpha$ к силовым линиям. Его скорость можно разложить на две составляющие:

- Параллельную силовым линиям: $v_{\parallel} = v \cos(\alpha)$. Эта составляющая не изменяется и отвечает за поступательное движение электрона вдоль поля.

- Перпендикулярную силовым линиям: $v_{\perp} = v \sin(\alpha)$. Эта составляющая отвечает за вращательное движение электрона.

3. На электрон в магнитном поле действует сила Лоренца, которая перпендикулярна вектору скорости и вектору магнитной индукции. Именно эта сила заставляет электрон двигаться по окружности в плоскости, перпендикулярной силовым линиям поля. Величина силы Лоренца, действующая на перпендикулярную составляющую скорости, равна:

$F_L = e v_{\perp} B$

Эта сила является центростремительной силой, которая удерживает электрон на круговой траектории радиусом $\text{R}$:

$F_c = \frac{m_e v_{\perp}^2}{R}$

4. Приравняем выражения для силы Лоренца и центростремительной силы:

$e v_{\perp} B = \frac{m_e v_{\perp}^2}{R}$

Из этого уравнения выразим радиус спирали (окружности, по которой движется электрон в поперечном сечении):

$R = \frac{m_e v_{\perp}}{eB}$

5. Подставим в формулу для радиуса выражение для $v_{\perp} = v \sin(\alpha)$:

$R = \frac{m_e v \sin(\alpha)}{eB}$

Теперь подставим выражение для скорости $v = \sqrt{\frac{2eU}{m_e}}$:

$R = \frac{m_e \sin(\alpha)}{eB} \sqrt{\frac{2eU}{m_e}}$

Упростим формулу, внеся $m_e$ и $\text{e}$ под корень:

$R = \frac{\sin(\alpha)}{B} \sqrt{\frac{m_e^2}{e^2} \cdot \frac{2eU}{m_e}} = \frac{\sin(\alpha)}{B} \sqrt{\frac{2m_e U}{e}}$

6. Подставим числовые значения в полученную формулу:

$R = \frac{\sin(30o )}{0.01 \text{ Тл}} \sqrt{\frac{2 \cdot 9.1 \cdot 10^{-31} \text{ кг} \cdot 10^3 \text{ В}}{1.6 \cdot 10^{-19} \text{ Кл}}}$

$\sin(30o ) = 0.5$

$R = \frac{0.5}{0.01} \sqrt{\frac{1.82 \cdot 10^{-27}}{1.6 \cdot 10^{-19}}} \text{ м}$

$R = 50 \cdot \sqrt{1.1375 \cdot 10^{-8}} \text{ м}$

$R = 50 \cdot 1.0665 \cdot 10^{-4} \text{ м}$

$R \approx 0.00533 \text{ м}$

Переведем результат в сантиметры:

$R \approx 0.53 \text{ см}$

Ответ: $R \approx 0.53 \text{ см}$.