Номер 6, страница 149, часть 2 - гдз по физике 10 класс учебник Кронгарт, Казахбаева

6. Заряженная частица влетела в неоднородное магнитное поле, индукция которого уменьшается в направлении движения частицы. Как будут изменяться период обращения, радиус окружности и шаг винтовой линии частицы?

Для анализа движения заряженной частицы в неоднородном магнитном поле разложим её скорость $\vec{v}$ на две составляющие: $v_{\parallel}$ – параллельную вектору магнитной индукции $\vec{B}$, и $v_{\perp}$ – перпендикулярную ему. Частица будет двигаться по винтовой линии, совершая вращательное движение в плоскости, перпендикулярной $\vec{B}$, и одновременно перемещаясь вдоль силовых линий поля.

По условию, индукция магнитного поля $\text{B}$ уменьшается в направлении движения частицы. Проанализируем, как это повлияет на параметры её траектории.

Период обращения $\text{T}$ – это время одного полного оборота частицы. Он определяется из второго закона Ньютона, где роль центростремительной силы играет сила Лоренца:

$qv_{\perp}B = \frac{mv_{\perp}^2}{R}$

где $\text{q}$ – заряд частицы, $\text{m}$ – её масса, $\text{R}$ – радиус окружности. Учитывая, что $v_{\perp} = \frac{2\pi R}{T}$, выразим период:

$T = \frac{2\pi m}{qB}$

Из формулы видно, что период обращения обратно пропорционален модулю магнитной индукции $\text{B}$. Поскольку по условию индукция $\text{B}$ уменьшается, то период обращения $\text{T}$ будет увеличиваться.

Ответ: Период обращения будет увеличиваться.

Радиус окружности, по которой движется частица, можно выразить из того же уравнения для силы Лоренца:

$R = \frac{mv_{\perp}}{qB}$

При движении частицы в медленно изменяющемся магнитном поле сохраняется величина, называемая адиабатическим инвариантом, которая пропорциональна отношению кинетической энергии вращательного движения к индукции поля:

$\frac{mv_{\perp}^2}{B} = \text{const}$

Отсюда следует, что $v_{\perp}^2 \propto B$, или $v_{\perp} \propto \sqrt{B}$. Подставим эту зависимость в формулу для радиуса:

$R \propto \frac{\sqrt{B}}{B} = \frac{1}{\sqrt{B}}$

Таким образом, радиус окружности обратно пропорционален квадратному корню из индукции поля. Поскольку индукция $\text{B}$ уменьшается, радиус вращения $\text{R}$ будет увеличиваться.

Ответ: Радиус окружности будет увеличиваться.

Шаг винтовой линии $\text{h}$ – это расстояние, которое частица проходит вдоль силовой линии поля за один период обращения $\text{T}$. Он равен:

$h = v_{\parallel} T$

Мы уже выяснили, что период $\text{T}$ увеличивается. Теперь определим, как изменяется продольная скорость $v_{\parallel}$. Сила Лоренца не совершает работы, так как она всегда перпендикулярна вектору скорости. Поэтому полная кинетическая энергия частицы сохраняется:

$E_k = \frac{1}{2}mv_{\perp}^2 + \frac{1}{2}mv_{\parallel}^2 = \text{const}$

Так как $v_{\perp}^2 \propto B$, при уменьшении индукции поля $\text{B}$ кинетическая энергия вращательного движения $\frac{1}{2}mv_{\perp}^2$ также уменьшается. Для сохранения полной энергии $E_k$ постоянной, кинетическая энергия поступательного движения $\frac{1}{2}mv_{\parallel}^2$ должна увеличиваться. Следовательно, продольная скорость $v_{\parallel}$ возрастает.

Поскольку шаг винтовой линии $\text{h}$ является произведением продольной скорости $v_{\parallel}$ и периода $\text{T}$, а обе эти величины увеличиваются, то и шаг винтовой линии будет увеличиваться.

Ответ: Шаг винтовой линии будет увеличиваться.