Номер 6, страница 156, часть 2 - гдз по физике 10 класс учебник Кронгарт, Казахбаева

56

6. Электрон движется в однородном магнитном поле с индукцией 10 мТл. В некоторый момент времени вектор его скорости, равный 1 Мм/с, составляет с направлением магнитного поля угол 30°. Вычислите радиус и шаг винтовой линии, по которой движется электрон.

(Ответ: $R = 0,28 \text{ мм}$; $h = 3,1 \text{ мм}$)

Дано:

Индукция магнитного поля, $B = 10$ мТл

Скорость электрона, $v = 1$ Мм/с

Угол между скоростью и направлением поля, $\alpha = 30^\circ$

Заряд электрона (по модулю), $e = 1.6 \cdot 10^{-19}$ Кл

Масса электрона, $m = 9.11 \cdot 10^{-31}$ кг

Переведем все величины в систему СИ:

$B = 10 \text{ мТл} = 10 \cdot 10^{-3} \text{ Тл} = 0.01 \text{ Тл}$

$v = 1 \text{ Мм/с} = 1 \cdot 10^6 \text{ м/с}$

Найти:

Радиус винтовой линии, $\text{R}$ - ?

Шаг винтовой линии, $\text{h}$ - ?

Решение:

Когда заряженная частица (электрон) движется в однородном магнитном поле под углом к линиям индукции, ее траектория представляет собой винтовую линию. Это движение можно разложить на два: равномерное движение по окружности в плоскости, перпендикулярной магнитному полю, и равномерное прямолинейное движение вдоль поля.

Разложим вектор скорости $\text{v}$ на две составляющие:

- перпендикулярную линиям поля: $v_{\perp} = v \sin(\alpha)$. Эта составляющая скорости определяет движение по окружности.

- параллельную линиям поля: $v_{||} = v \cos(\alpha)$. Эта составляющая скорости определяет поступательное движение вдоль поля.

На электрон действует сила Лоренца $F_Л$, которая создает центростремительное ускорение для вращательного движения. Величина силы Лоренца равна $F_Л = e v_{\perp} B$. Она же является центростремительной силой $F_ц = \frac{m v_{\perp}^2}{R}$.

Приравняв выражения для силы Лоренца и центростремительной силы, найдем радиус винтовой линии $\text{R}$:

$e v_{\perp} B = \frac{m v_{\perp}^2}{R}$

$R = \frac{m v_{\perp}}{e B} = \frac{m v \sin(\alpha)}{e B}$

Подставим числовые значения:

$R = \frac{(9.11 \cdot 10^{-31} \text{ кг}) \cdot (1 \cdot 10^6 \text{ м/с}) \cdot \sin(30^\circ)}{(1.6 \cdot 10^{-19} \text{ Кл}) \cdot (0.01 \text{ Тл})} = \frac{9.11 \cdot 10^{-25} \cdot 0.5}{1.6 \cdot 10^{-21}} \text{ м}$

$R \approx 2.847 \cdot 10^{-4} \text{ м} \approx 0.28 \text{ мм}$

Шаг винтовой линии $\text{h}$ – это расстояние, на которое электрон смещается вдоль линий поля за время одного полного оборота (период $\text{T}$).

Период обращения можно найти как $T = \frac{2\pi m}{e B}$.

За это время электрон пройдет расстояние $\text{h}$ с постоянной скоростью $v_{||}$:

$h = v_{||} \cdot T = v \cos(\alpha) \cdot \frac{2\pi m}{e B} = \frac{2\pi m v \cos(\alpha)}{e B}$

Подставим числовые значения:

$h = \frac{2\pi \cdot (9.11 \cdot 10^{-31} \text{ кг}) \cdot (1 \cdot 10^6 \text{ м/с}) \cdot \cos(30^\circ)}{(1.6 \cdot 10^{-19} \text{ Кл}) \cdot (0.01 \text{ Тл})}$

Используя $\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866$:

$h \approx \frac{2 \cdot 3.1416 \cdot 9.11 \cdot 10^{-25} \cdot 0.866}{1.6 \cdot 10^{-21}} \text{ м} \approx 30.98 \cdot 10^{-4} \text{ м} \approx 3.1 \cdot 10^{-3} \text{ м} = 3.1 \text{ мм}$

Ответ: радиус винтовой линии $R \approx 0.28$ мм, шаг винтовой линии $h \approx 3.1$ мм.