Номер 10, страница 157, часть 2 - гдз по физике 10 класс учебник Кронгарт, Казахбаева

10. Небольшой шарик массой $m = 10 \text{ г}$ и зарядом $q = 1 \text{ мкКл}$ вращается в горизонтальной плоскости на невесомой диэлектрической нити длиной $l = 50 \text{ см}$. В пространстве создано однородное магнитное поле с индукцией $B = 0,1 \text{ Тл}$, силовые линии которого направлены вдоль силы тяжести вниз (рис. 72.11). При движении нить образует с вертикалью угол $\alpha = 30^\circ$. Найдите период обращения шарика.

(Ответ: 1,31 с)

Рис. 72.11

Дано:

$m = 10$ г

$q = 1$ мкКл

$l = 50$ см

$B = 0,1$ Тл

$\alpha = 30^\circ$

Перевод в систему СИ:

$m = 0,01$ кг

$q = 1 \cdot 10^{-6}$ Кл

$l = 0,5$ м

Найти:

$\text{T}$ — ?

Решение:

На шарик, вращающийся в горизонтальной плоскости, действуют три силы: сила тяжести $m\vec{g}$, сила натяжения нити $\vec{T_s}$ и сила Лоренца $\vec{F_L}$.

Запишем второй закон Ньютона в проекциях на вертикальную и горизонтальную оси. Ось $OY$ направим вертикально вверх, а ось $OX$ — горизонтально к центру окружности, по которой движется шарик.

1. Проекция на ось OY:

На шарик по вертикали действуют сила тяжести (вниз) и вертикальная составляющая силы натяжения нити (вверх). Так как по вертикали движения нет, сумма этих сил равна нулю:

$T_s \cos(\alpha) - mg = 0$

Отсюда выразим силу натяжения нити:

$T_s = \frac{mg}{\cos(\alpha)}$ (1)

2. Проекция на ось OX:

В горизонтальной плоскости на шарик действуют горизонтальная составляющая силы натяжения нити и сила Лоренца. Обе эти силы направлены к центру окружности и в сумме создают центростремительное ускорение.

Направление силы Лоренца определяется по правилу правой руки (для положительного заряда). Вектор скорости $\vec{v}$ направлен по касательной к окружности, вектор магнитной индукции $\vec{B}$ — вертикально вниз. Следовательно, сила Лоренца $\vec{F_L} = q(\vec{v} \times \vec{B})$ направлена радиально к центру окружности. Ее модуль равен $F_L = qvB\sin(90^\circ) = qvB$.

Сумма сил в проекции на ось OX равна центростремительной силе $F_c = ma_c = m\frac{v^2}{r}$, где $\text{r}$ — радиус окружности.

Из геометрии задачи $r = l \sin(\alpha)$.

Уравнение для оси OX:

$T_s \sin(\alpha) + F_L = m\frac{v^2}{r}$

$T_s \sin(\alpha) + qvB = \frac{mv^2}{l \sin(\alpha)}$ (2)

Подставим выражение для $T_s$ из (1) в (2):

$\frac{mg}{\cos(\alpha)}\sin(\alpha) + qvB = \frac{mv^2}{l \sin(\alpha)}$

$mg\tan(\alpha) + qvB = \frac{mv^2}{l \sin(\alpha)}$

Для нахождения периода $\text{T}$ удобнее использовать угловую скорость $\omega$, связанную со скоростью и периодом как $\omega = \frac{v}{r}$ и $T = \frac{2\pi}{\omega}$. Тогда $v = \omega r = \omega l \sin(\alpha)$.

Подставим $\text{v}$ в уравнение:

$mg\tan(\alpha) + q(\omega l \sin(\alpha))B = \frac{m(\omega l \sin(\alpha))^2}{l \sin(\alpha)}$

$mg\tan(\alpha) + q\omega lB\sin(\alpha) = m\omega^2 l\sin(\alpha)$

Разделим обе части на $l\sin(\alpha)$:

$\frac{mg\tan(\alpha)}{l\sin(\alpha)} + q\omega B = m\omega^2$

Упростим первый член: $\frac{mg\frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}}{l\sin(\alpha)} = \frac{mg}{l\cos(\alpha)}$

Получаем квадратное уравнение относительно $\omega$:

$m\omega^2 - qB\omega - \frac{mg}{l\cos(\alpha)} = 0$

Подставим числовые значения. Для соответствия с ответом примем $g \approx 10$ м/с².

$m = 0,01$ кг

$qB = 10^{-6} \cdot 0,1 = 10^{-7}$ Кл$\cdot$Тл

$\frac{mg}{l\cos(\alpha)} = \frac{0,01 \cdot 10}{0,5 \cdot \cos(30^\circ)} = \frac{0,1}{0,5 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{0,1}{0,433} \approx 0,2309$ Н/м

Уравнение принимает вид:

$0,01\omega^2 - 10^{-7}\omega - 0,2309 = 0$

Решаем квадратное уравнение:

$\omega = \frac{-(-10^{-7}) + \sqrt{(-10^{-7})^2 - 4(0,01)(-0,2309)}}{2 \cdot 0,01} = \frac{10^{-7} + \sqrt{10^{-14} + 0,009236}}{0,02}$

Членом $10^{-7}$ под корнем и перед ним можно пренебречь, так как он на много порядков меньше второго слагаемого.

$\omega \approx \frac{\sqrt{0,009236}}{0,02} = \frac{0,0961}{0,02} \approx 4,805$ рад/с

Теперь найдем период обращения:

$T = \frac{2\pi}{\omega} \approx \frac{2 \cdot 3,14159}{4,805} \approx 1,3073$ с

Округляя до сотых, получаем $T \approx 1,31$ с.

Ответ: $T \approx 1,31$ с.