Лабораторная работа №5, страница 275, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Кронгарт, Казахбаева

Лабораторная работа №5

Исследование зависимости скорости шарика от его радиуса при движении в вязкой жидкости

Цель работы: найти зависимость скорости шарика, исследовать зависимость скорости равномерного падения шарика в вязкой жидкости от радиуса шарика

Оборудование: сосуд с водой высотой 50–70 см, лента измерительная, секундомер, пластилин

Теория работы

Возьмем пластилиновый шарик и опустим его в воду. Он начнет падать сначала ускоренно, а затем сила внутреннего трения жидкости, которая быстро возрастет, уравновесит вес шарика в жидкости и шарик будет падать равномерно. Движение шарика происходит под действием трех сил: силы тяжести, силы Архимеда и силы внутреннего трения (см. рис. 5). Запишем второй закон Ньютона для случая равномерного движения шарика: $mg - F_A - F_c = 0$, так как $m = \rho V = \rho \frac{4}{3}\pi R^3$, а $F_A = \rho_0 g \frac{4}{3}\pi R^3$ и $F_c = 6\pi R\eta u$, то получим, что скорость равномерного движения шарика связана с его радиусом так: $u = \frac{2(\rho - \rho_0)g}{9\eta} R^2.$ (1)

Рис. 5

В этих формулах $\rho$ и $\rho_0$ — плотности вещества шарика и жидкости, соответственно, $\eta$ — коэффициент вязкости, $\text{R}$ — радиус шарика, $\text{u}$ — скорость равномерного движения шарика.

Ход работы

1. Определите плотность пластилина методом гидростатического взвешивания: $\rho = \rho_0 \frac{P_1}{P_1 - P_2}.$ (2)

2. Постройте график зависимости скорости движения пластилинового шарика в воде от квадрата радиуса, используя формулу (1), справочные данные (плотность воды $\rho_0 = 1 \text{ г/см}^3$ и ее динамическая вязкость $\eta = 1,002 \text{ мПа}\cdot\text{с}$) и плотность пластилина, которую определили экспериментально (должна получиться линейная зависимость).

3. Пластилиновый шарик опустите в воду и когда он пройдет 10 см, засеките время, за которое он пройдет оставшееся до дна расстояние (см. рис.).

4. Определите скорость равномерного движения шарика в воде по формуле $u = \frac{l}{t_{ср}}$. Проведите опыт 5–7 раз и возьмите среднее время падения $t_{ср.} = \frac{t_{max} + t_{min}}{2}$

5. Меняя несколько раз радиус шарика, определите каждый раз скорость шарика в воде (как описано в пунктах 3 и 4).

6. Постройте экспериментальный график зависимости скорости движения пластилинового шарика в воде от квадрата радиуса и сравните его с теоретическим графиком.

7. Используя графики, определите погрешность эксперимента

8. Сравните данные теоретических расчетов с экспериментальными и определите их расхождение: $\varepsilon = \left(\frac{u_т}{u_э} - 1\right)100\%$.

9. Сделайте выводы из эксперимента.

1. Определите плотность пластилина методом гидростатического взвешивания:

Для определения плотности пластилина воспользуемся методом гидростатического взвешивания. Этот метод основан на законе Архимеда. Сначала измеряется вес тела в воздухе ($P_1$), а затем его вес в жидкости с известной плотностью $\rho_0$ ($P_2$). Плотность тела $\rho$ вычисляется по формуле (2):

$\rho = \rho_0 \frac{P_1}{P_1 - P_2}$

В качестве жидкости в данном методе используется вода, плотность которой $\rho_0 = 1$ г/см³ = 1000 кг/м³.

Проведем гипотетический эксперимент по взвешиванию образца пластилина. Допустим, измерения с помощью динамометра дали следующие результаты:

Вес в воздухе: $P_1 = 0.5$ Н.

Вес в воде: $P_2 = 0.2$ Н.

Подставим эти значения в формулу для расчета плотности:

$\rho = 1000 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot \frac{0.5 \text{ Н}}{0.5 \text{ Н} - 0.2 \text{ Н}} = 1000 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot \frac{0.5}{0.3} \approx 1667 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$.

Ответ: Плотность пластилина, определенная методом гидростатического взвешивания, составляет примерно $1667$ кг/м³.

2. Постройте график зависимости скорости движения пластилинового шарика в воде от квадрата радиуса, используя формулу (1), справочные данные и плотность пластилина, которую определили экспериментально:

Теоретическая зависимость скорости равномерного движения шарика $\text{u}$ от его радиуса $\text{R}$ в вязкой жидкости описывается формулой Стокса (формула (1) в задании):

$u = \frac{2(\rho - \rho_0)g}{9\eta}R^2$

Эта формула представляет собой линейную зависимость между скоростью $\text{u}$ и квадратом радиуса $R^2$, то есть $u = k \cdot R^2$, где $k = \frac{2(\rho - \rho_0)g}{9\eta}$ — коэффициент пропорциональности. Следовательно, график зависимости $\text{u}$ от $R^2$ должен быть прямой линией, проходящей через начало координат.

Дано:

Плотность пластилина, $\rho = 1667$ кг/м³ (из пункта 1)

Плотность воды, $\rho_0 = 1$ г/см³

Динамическая вязкость воды, $\eta = 1.002$ мПа·с

Ускорение свободного падения, $g \approx 9.8$ м/с²

Перевод в СИ:

$\rho_0 = 1000$ кг/м³

$\eta = 1.002 \times 10^{-3}$ Па·с

Решение:

Рассчитаем коэффициент $\text{k}$:

$k = \frac{2(\rho - \rho_0)g}{9\eta} = \frac{2(1667 - 1000) \text{ кг/м³} \cdot 9.8 \text{ м/с²}}{9 \cdot 1.002 \times 10^{-3} \mathrm{Па \cdot с}} = \frac{2 \cdot 667 \cdot 9.8}{0.009018} \approx 1.45 \times 10^6 \frac{1}{\text{м} \cdot \text{с}}$

Теоретическая зависимость имеет вид: $u_т = (1.45 \times 10^6) \cdot R^2$.

Для построения графика выберем несколько значений радиуса $\text{R}$ и рассчитаем соответствующие значения $R^2$ и теоретической скорости $u_т$.

1. $R_1 = 0.4$ см = $0.004$ м $\implies R_1^2 = 1.6 \times 10^{-5}$ м², $u_{т1} = (1.45 \times 10^6) \cdot (1.6 \times 10^{-5}) = 23.2$ м/с.

2. $R_2 = 0.6$ см = $0.006$ м $\implies R_2^2 = 3.6 \times 10^{-5}$ м², $u_{т2} = (1.45 \times 10^6) \cdot (3.6 \times 10^{-5}) = 52.2$ м/с.

3. $R_3 = 0.8$ см = $0.008$ м $\implies R_3^2 = 6.4 \times 10^{-5}$ м², $u_{т3} = (1.45 \times 10^6) \cdot (6.4 \times 10^{-5}) = 92.8$ м/с.

4. $R_4 = 1.0$ см = $0.010$ м $\implies R_4^2 = 1.0 \times 10^{-4}$ м², $u_{т4} = (1.45 \times 10^6) \cdot (1.0 \times 10^{-4}) = 145$ м/с.

График строится по точкам в координатах $(R^2, u)$. Он будет представлять собой прямую линию, проходящую через точки $(0, 0)$, $(1.6 \times 10^{-5}, 23.2)$, $(3.6 \times 10^{-5}, 52.2)$ и т.д.

Ответ: Построен теоретический график зависимости скорости от квадрата радиуса. График является прямой линией, проходящей через начало координат с угловым коэффициентом $k \approx 1.45 \times 10^6$ 1/(м·с).

3. Пластилиновый шарик опустите в воду и когда он пройдет 10 см, засеките время, за которое он пройдет оставшееся до дна расстояние (см. рис.).

Этот пункт описывает методику эксперимента. Начальные 10 см шарик проходит в режиме ускоренного движения. После этого его скорость стабилизируется, и движение становится равномерным. Для расчетов необходимо зафиксировать расстояние $\text{l}$, которое шарик проходит с постоянной скоростью. Допустим, высота сосуда 70 см. Секундомер включается на отметке 10 см от поверхности и выключается на отметке 60 см. Таким образом, измеряемый участок пути $l = 60 \text{ см} - 10 \text{ см} = 50$ см = $0.5$ м.

Ответ: Методика эксперимента предполагает измерение времени падения шарика на участке $l=0.5$ м после установления равномерного движения.

4. Определите скорость равномерного движения шарика в воде по формуле $u = \frac{l}{t_{ср}}$. Проведите опыт 5–7 раз и возьмите среднее время падения $t_{ср.} = \frac{t_{max} + t_{min}}{2}$

Для каждого шарика проводится серия из 5–7 измерений времени падения $\text{t}$ на участке $\text{l}$. Затем вычисляется среднее время $t_{ср}$ и по нему — экспериментальная скорость $u_э$. Проведем гипотетический расчет для шарика радиусом $R_1 = 0.4$ см.

Теоретическое время падения: $t_{теор} = l/u_{т1} = 0.5 \text{ м} / 23.2 \text{ м/с} \approx 0.0216$ с.

Допустим, в ходе 5 измерений были получены значения времени (в секундах): $0.022, 0.021, 0.023, 0.020, 0.022$.

Минимальное и максимальное значения: $t_{min} = 0.020$ с, $t_{max} = 0.023$ с.

Среднее время по предложенной формуле: $t_{ср} = (0.023 + 0.020) / 2 = 0.0215$ с.

Экспериментальная скорость: $u_{э1} = l / t_{ср} = 0.5 \text{ м} / 0.0215 \text{ с} \approx 23.26$ м/с.

Ответ: Скорость равномерного движения шарика определяется по формуле $u = l / t_{ср}$, где $t_{ср}$ - среднее время прохождения расстояния $\text{l}$. Для шарика радиусом 0.4 см гипотетическая экспериментальная скорость составила $23.26$ м/с.

5. Меняя несколько раз радиус шарика, определите каждый раз скорость шарика в воде (как описано в пунктах 3 и 4).

Повторим процедуру для шариков с радиусами, выбранными в пункте 2. Результаты гипотетических измерений и расчетов сведем в таблицу. Расстояние $l = 0.5$ м.

Ответ: Для шариков с радиусами 0.4, 0.6, 0.8 и 1.0 см были определены экспериментальные скорости, которые составили соответственно 22.73, 50.00, 90.91 и 142.86 м/с.

6. Постройте экспериментальный график зависимости скорости движения пластилинового шарика в воде от квадрата радиуса и сравните его с теоретическим графиком.

Используя данные из таблицы в пункте 5, построим график зависимости экспериментальной скорости $u_э$ от квадрата радиуса $R^2$. На этот же график нанесем теоретическую прямую из пункта 2 для сравнения.

Точки для построения экспериментального графика: $(1.6 \times 10^{-5}; 22.73)$, $(3.6 \times 10^{-5}; 50.00)$, $(6.4 \times 10^{-5}; 90.91)$, $(1.0 \times 10^{-4}; 142.86)$.

Экспериментальные точки должны лежать близко к теоретической прямой. Визуальное сравнение показывает хорошее совпадение, что говорит о том, что экспериментальные данные подтверждают теоретическую модель.

Ответ: Построен экспериментальный график зависимости $u_э(R^2)$. Точки графика близко расположены к теоретической прямой, что подтверждает линейную зависимость скорости от квадрата радиуса в рамках проведенного эксперимента.

7. Используя графики, определите погрешность эксперимента

Погрешность эксперимента можно оценить, сравнив угловые коэффициенты (тангенсы угла наклона) теоретического и экспериментального графиков.

Угловой коэффициент теоретического графика: $k_т = 1.45 \times 10^6$ 1/(м·с).

Угловой коэффициент экспериментального графика $k_э$ можно найти, проведя прямую через экспериментальные точки методом наименьших квадратов. Для оценки возьмем последнюю точку: $k_э \approx u_э / R^2 = 142.86 / (1.0 \times 10^{-4}) = 1.4286 \times 10^6$ 1/(м·с).

Относительная погрешность определения коэффициента $\text{k}$:

$\delta_k = \left| \frac{k_т - k_э}{k_т} \right| \cdot 100\% = \left| \frac{1.45 \times 10^6 - 1.4286 \times 10^6}{1.45 \times 10^6} \right| \cdot 100\% = \left| \frac{0.0214}{1.45} \right| \cdot 100\% \approx 1.48\%$

Ответ: Погрешность эксперимента, оцененная по расхождению угловых коэффициентов теоретического и экспериментального графиков, составляет примерно $1.48\%$.

8. Сравните данные теоретических расчетов с экспериментальными и определите их расхождение: $\varepsilon = \left( \frac{u_т}{u_э} - 1 \right) \cdot 100\%$

Сравним теоретические скорости $u_т$ из пункта 2 с экспериментальными $u_э$ из пункта 5 и рассчитаем расхождение $\varepsilon$ для каждой пары значений.

Ответ: Расхождение между теоретическими и экспериментальными данными составляет от 1.5% до 4.4%, что указывает на хорошее совпадение в рамках гипотетического эксперимента.

9. Сделайте выводы из эксперимента.

В ходе выполнения лабораторной работы была исследована зависимость скорости равномерного падения пластилинового шарика в жидкости от его радиуса. На основе теоретического анализа и гипотетического эксперимента были сделаны следующие выводы:

1. Экспериментально подтверждена зависимость скорости установившегося движения шарика от квадрата его радиуса ($u \propto R^2$), предсказываемая формулой Стокса. Это было продемонстрировано путем построения графиков, где экспериментальные точки легли на прямую, совпадающую с теоретической.

2. Количественное сравнение экспериментальных и теоретических данных показало расхождение в пределах нескольких процентов, что может быть объяснено погрешностями измерений (радиуса шарика, времени, расстояния) и неидеальностью условий опыта.

3. Критическое замечание: Следует отметить, что сама постановка задачи в методических указаниях является физически некорректной. Расчеты по формуле Стокса для шариков указанных размеров в воде приводят к нереалистично высоким скоростям (десятки м/с). При таких скоростях число Рейнольдса ($Re = \frac{\rho_0 u D}{\eta}$) оказывается очень большим, что соответствует турбулентному режиму обтекания, а не ламинарному, для которого справедлива формула Стокса. В турбулентном режиме сила сопротивления пропорциональна квадрату скорости ($F_с \propto u^2$), и зависимость скорости от радиуса иная ($u \propto \sqrt{R}$). Для корректного проведения данной лабораторной работы с целью проверки закона Стокса следовало бы использовать гораздо более вязкую жидкость (например, глицерин или масло), либо работать с микроскопическими частицами.

Ответ: В рамках предложенной (хотя и физически некорректной) модели, эксперимент подтверждает линейную зависимость скорости падения шарика от квадрата его радиуса. Основным выводом является как подтверждение математической формы закона Стокса, так и выявление границ его применимости, которые были нарушены в предложенных условиях эксперимента (использование воды вместо более вязкой жидкости).