Номер 2, страница 191 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Синяков

Параграф 2.10. Численное решение уравнений движения в механике. Глава 2. Законы механики Ньютона. Динамика - номер 2, страница 191.

Условие.

2. Почему численный метод, предложенный Ньютоном, пригоден для решения любой задачи механики? Аргументируйте на конкретном примере.

Решение.

Численный метод, основанный на законах Ньютона, является универсальным инструментом для решения задач механики, поскольку он напрямую вытекает из фундаментального уравнения движения — второго закона Ньютона. Этот закон, в своей сути, является дифференциальным уравнением, которое связывает действующие на тело силы с его ускорением, а значит, и с изменением его координат и скорости во времени.

Почему численный метод, предложенный Ньютоном, пригоден для решения любой задачи механики?

Второй закон Ньютона записывается как $\vec{F} = m\vec{a}$, где $\vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt} = \frac{d^2\vec{r}}{dt^2}$. Основная задача механики — найти зависимость координат от времени $\vec{r}(t)$, то есть решить это дифференциальное уравнение при заданных начальных условиях (начальное положение $\vec{r}_0$ и начальная скорость $\vec{v}_0$).

Аналитически (точно) такое уравнение решается только для простых случаев, когда сила постоянна или зависит от координаты по простому закону (например, закон Гука). Однако в большинстве реальных ситуаций силы могут иметь сложную зависимость от положения, скорости и времени (например, сила сопротивления воздуха, гравитационные силы в системе многих тел). В таких случаях найти точную формулу для $\vec{r}(t)$ невозможно.

Численный метод предлагает пошаговый алгоритм для нахождения приближенного решения. Идея состоит в том, чтобы разбить время на очень малые интервалы $\Delta t$ и предположить, что в течение каждого такого интервала сила и ускорение остаются постоянными. Это позволяет шаг за шагом вычислить состояние системы (координаты и скорость) в последующие моменты времени.

Алгоритм выглядит так:
1. Зная положение $\vec{r}_i$ и скорость $\vec{v}_i$ в момент времени $t_i$, вычисляем действующую на тело силу $\vec{F}_i = \vec{F}(\vec{r}_i, \vec{v}_i, t_i)$.
2. Из второго закона Ньютона находим ускорение: $\vec{a}_i = \vec{F}_i / m$.
3. Считая ускорение $\vec{a}_i$ постоянным на малом промежутке $\Delta t$, находим приближенные значения скорости и положения для следующего момента времени $t_{i+1} = t_i + \Delta t:$
$\vec{v}_{i+1} \approx \vec{v}_i + \vec{a}_i \Delta t$
$\vec{r}_{i+1} \approx \vec{r}_i + \vec{v}_i \Delta t$
4. Повторяем процедуру, используя вычисленные $\vec{r}_{i+1}$ и $\vec{v}_{i+1}$ в качестве исходных данных для следующего шага.

Универсальность этого метода заключается в том, что сам алгоритм не зависит от вида функции силы $\vec{F}$. Какими бы сложными ни были силы, если мы можем их вычислить в любой момент времени для любого положения и скорости тела, мы можем применить этот пошаговый процесс. Таким образом, метод пригоден для решения любой задачи классической механики, сводящейся к основному уравнению динамики.

Аргументируйте на конкретном примере

Рассмотрим задачу о движении снаряда с учётом силы сопротивления воздуха. Эта задача не имеет простого аналитического решения.

На снаряд действуют две силы:
• Сила тяжести: $\vec{F}_g = m\vec{g}$, направленная постоянно вниз.
• Сила сопротивления воздуха, которая зависит от скорости: $\vec{F}_d = -f(v)\vec{v}$, где $f(v)$ — некоторая функция от модуля скорости $v$, а сама сила направлена против вектора скорости $\vec{v}$. Например, при больших скоростях $f(v)$ может быть пропорциональна квадрату скорости, $f(v) \sim v^2$.

Результирующая сила $\vec{F}_{net} = m\vec{g} - f(v)\vec{v}$ постоянно меняется, поскольку скорость снаряда изменяется и по величине, и по направлению.

Применим численный метод:
1. Начальные условия ($t=0$): Заданы начальная позиция $\vec{r}_0$ и начальная скорость $\vec{v}_0$.
2. Выбор шага: Выбираем малый промежуток времени $\Delta t$.
3. Первый шаг (вычисление для $t_1 = \Delta t$):
- Находим силу в начальный момент: $\vec{F}_0 = m\vec{g} - f(v_0)\vec{v}_0$.
- Находим начальное ускорение: $\vec{a}_0 = \vec{F}_0 / m$.
- Вычисляем новые скорость и положение:
$\vec{v}_1 = \vec{v}_0 + \vec{a}_0 \Delta t$
$\vec{r}_1 = \vec{r}_0 + \vec{v}_0 \Delta t$
4. Второй шаг (вычисление для $t_2 = 2\Delta t$):
- Используя уже известные $\vec{v}_1$ и $\vec{r}_1$, находим силу: $\vec{F}_1 = m\vec{g} - f(v_1)\vec{v}_1$.
- Находим ускорение: $\vec{a}_1 = \vec{F}_1 / m$.
- Вычисляем новые скорость и положение:
$\vec{v}_2 = \vec{v}_1 + \vec{a}_1 \Delta t$
$\vec{r}_2 = \vec{r}_1 + \vec{v}_1 \Delta t$
Продолжая этот итерационный процесс, мы получаем набор точек $(\vec{r}_0, \vec{r}_1, \vec{r}_2, \ldots)$, которые аппроксимируют (приближенно описывают) реальную траекторию снаряда. Этот пример наглядно демонстрирует, что численный метод позволяет решить задачу, для которой аналитическое решение крайне затруднительно или невозможно, и его можно применить к любой силе, какой бы сложной она ни была.

Ответ: Численный метод, предложенный Ньютоном, пригоден для решения любой задачи механики, поскольку он основан на универсальном втором законе Ньютона ($\vec{F}=m\vec{a}$) и представляет собой пошаговый алгоритм, который позволяет найти приближенное решение основного уравнения динамики для любых, сколь угодно сложных сил. Метод заключается в разбиении времени на малые интервалы, на каждом из которых сила и ускорение считаются постоянными. Это позволяет итеративно вычислять координаты и скорость тела в последующие моменты времени. Пример с движением тела при наличии сопротивления воздуха, где сила зависит от скорости, показывает, как этот метод позволяет найти траекторию движения в случаях, когда аналитическое решение невозможно.