Номер 1, страница 199 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Синяков

Параграф 2.13. Принцип относительности в механике. Глава 2. Законы механики Ньютона. Динамика - номер 1, страница 199.

Условие.

? Покажите, что уравнение второго закона Ньютона не меняется при переходе от одной инерциальной системы отсчёта к другой.

Решение.

Решение

Чтобы доказать инвариантность (неизменность) уравнения второго закона Ньютона при переходе между инерциальными системами отсчёта (ИСО), рассмотрим две такие системы: неподвижную систему $S$ и систему $S'$, движущуюся относительно $S$ с постоянной скоростью $ \vec{V} $.

Второй закон Ньютона в системе отсчёта $S$ для тела массой $m$ имеет вид:

$ \vec{F} = m\vec{a} $

где $ \vec{F} $ — равнодействующая всех сил, действующих на тело, а $ \vec{a} $ — его ускорение, измеренные в системе $S$.

Проанализируем, как преобразуются величины, входящие в это уравнение, при переходе к системе $S'$. Для этого воспользуемся преобразованиями Галилея, которые связывают координаты и время в двух ИСО в классической механике.

1. Преобразование ускорения.

Связь между радиус-вектором тела в системе $S$ ($ \vec{r} $) и в системе $S'$ ($ \vec{r'} $) определяется выражением:

$ \vec{r'} = \vec{r} - \vec{V}t $

Продифференцируем это выражение по времени, чтобы найти связь между скоростями $ \vec{v} = d\vec{r}/dt $ и $ \vec{v'} = d\vec{r'}/dt $:

$ \vec{v'} = \frac{d\vec{r'}}{dt} = \frac{d}{dt}(\vec{r} - \vec{V}t) = \frac{d\vec{r}}{dt} - \vec{V} = \vec{v} - \vec{V} $

Теперь продифференцируем по времени полученное соотношение для скоростей, чтобы найти связь между ускорениями $ \vec{a} = d\vec{v}/dt $ и $ \vec{a'} = d\vec{v'}/dt $:

$ \vec{a'} = \frac{d\vec{v'}}{dt} = \frac{d}{dt}(\vec{v} - \vec{V}) = \frac{d\vec{v}}{dt} - \frac{d\vec{V}}{dt} $

Поскольку система $S'$ движется относительно $S$ с постоянной скоростью, то $ \vec{V} = \text{const} $, и производная от неё по времени равна нулю: $ d\vec{V}/dt = 0 $.

Следовательно, ускорение тела одинаково во всех инерциальных системах отсчёта:

$ \vec{a'} = \vec{a} $

2. Инвариантность массы и силы.

В классической механике масса тела $m$ считается его внутренней, неизменной характеристикой. Она не зависит от скорости движения или выбора системы отсчёта. Таким образом, масса является инвариантом: $ m' = m $.

Силы взаимодействия между телами (такие как гравитация, упругость, трение) зависят от их взаимного расположения и относительных скоростей. Преобразования Галилея сохраняют расстояния между телами и их относительные скорости. Поэтому в классической физике силы также считаются инвариантными при переходе от одной ИСО к другой: $ \vec{F'} = \vec{F} $.

3. Вывод.

Запишем второй закон Ньютона в системе $S'$ с использованием величин, измеренных в этой системе: $ \vec{F'} $, $ m' $, $ \vec{a'} $.

Учитывая, что $ \vec{F'} = \vec{F} $, $ m' = m $ и $ \vec{a'} = \vec{a} $, мы можем подставить их в уравнение для системы $S'$:

$ \vec{F'} = m'\vec{a'} $

Это показывает, что если уравнение $ \vec{F} = m\vec{a} $ справедливо в одной инерциальной системе отсчёта $S$, то оно будет иметь точно такой же вид и в любой другой инерциальной системе отсчёта $S'$.

Ответ:

Уравнение второго закона Ньютона не меняется при переходе от одной инерциальной системы отсчёта к другой (является инвариантным относительно преобразований Галилея), потому что величины, входящие в него, инвариантны: ускорение тела одинаково во всех ИСО ($ \vec{a'} = \vec{a} $), а масса ($ m' = m $) и равнодействующая сил ($ \vec{F'} = \vec{F} $) в классической механике не зависят от выбора инерциальной системы отсчёта. Таким образом, из справедливости уравнения $ \vec{F} = m\vec{a} $ в одной ИСО следует его справедливость в виде $ \vec{F'} = m'\vec{a'} $ в любой другой ИСО.