Номер 7, страница 209 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Синяков

Динамика. Глава 2. Законы механики Ньютона. Параграф 2.14. Примеры решения задач. Упражнение 7 - номер 7, страница 209.

Условие.

7. Невесомый стержень изогнут под углом $\alpha = 30^{\circ}$ (рис. 2.39). На конце участка стержня AB длиной 80 см закреплён маленький шарик массой 1 кг. Система вращается вокруг вертикального участка стержня так, что скорость шарика равна 2 м/с. С какой по модулю силой и в каком направлении стержень действует на шарик?

Рис. 2.39

Решение.

Дано:

Угол наклона стержня: $\alpha = 30^\circ$
Длина участка стержня AB: $L = 80 \text{ см}$
Масса шарика: $m = 1 \text{ кг}$
Скорость шарика: $v = 2 \text{ м/с}$
Ускорение свободного падения: $g \approx 9.8 \text{ м/с}^2$

Перевод в систему СИ:
$L = 0.8 \text{ м}$

Найти:

Модуль силы $F$ и ее направление, с которой стержень действует на шарик.

Решение:

На шарик действуют две силы: сила тяжести $m\vec{g}$, направленная вертикально вниз, и сила реакции стержня $\vec{F}$. Поскольку шарик совершает равномерное движение по окружности в горизонтальной плоскости, его ускорение является центростремительным ($\vec{a_ц}$) и направлено горизонтально к оси вращения.

Согласно второму закону Ньютона, равнодействующая всех сил, приложенных к телу, равна произведению массы тела на его ускорение:

$m\vec{a_ц} = m\vec{g} + \vec{F}$

Для решения задачи введем систему координат. Направим ось OY вертикально вверх, а ось OX – горизонтально к центру окружности, по которой движется шарик. Спроецируем уравнение второго закона Ньютона на эти оси:

Проекция на ось OY: $F_y - mg = 0$ (так как по вертикали шарик не движется).

Проекция на ось OX: $F_x = m a_ц$.

Из проекции на ось OY найдем вертикальную составляющую силы реакции стержня:

$F_y = mg$

Для нахождения горизонтальной составляющей силы $F_x$ необходимо определить центростремительное ускорение $a_ц = \frac{v^2}{r}$, где $r$ – радиус окружности. Из геометрии системы (см. рис. 2.39) видно, что радиус вращения шарика равен:

$r = L \sin(\alpha)$

Тогда горизонтальная составляющая силы реакции стержня:

$F_x = m \frac{v^2}{L \sin(\alpha)}$

Теперь можно вычислить числовые значения для обеих составляющих силы.

С какой по модулю силой стержень действует на шарик?

Найдем значения вертикальной и горизонтальной составляющих силы $\vec{F}$:

$F_y = 1 \text{ кг} \cdot 9.8 \text{ м/с}^2 = 9.8 \text{ Н}$

$F_x = 1 \text{ кг} \cdot \frac{(2 \text{ м/с})^2}{0.8 \text{ м} \cdot \sin(30^\circ)} = \frac{4}{0.8 \cdot 0.5} = \frac{4}{0.4} = 10 \text{ Н}$

Модуль силы $\vec{F}$ найдем как гипотенузу в прямоугольном треугольнике, катетами которого являются $F_x$ и $F_y$:

$F = \sqrt{F_x^2 + F_y^2} = \sqrt{(10 \text{ Н})^2 + (9.8 \text{ Н})^2} = \sqrt{100 + 96.04} = \sqrt{196.04} \approx 14.0 \text{ Н}$

Ответ: Модуль силы, с которой стержень действует на шарик, составляет приблизительно $14.0 \text{ Н}$.

В каком направлении стержень действует на шарик?

Направление силы $\vec{F}$ можно охарактеризовать углом $\beta$, который она составляет с вертикалью. Тангенс этого угла равен отношению горизонтальной составляющей силы к вертикальной:

$\tan(\beta) = \frac{F_x}{F_y} = \frac{10 \text{ Н}}{9.8 \text{ Н}} \approx 1.02$

Найдем сам угол:

$\beta = \arctan(1.02) \approx 45.6^\circ$

Таким образом, сила, действующая на шарик со стороны стержня, направлена вверх и к оси вращения под углом примерно $45.6^\circ$ к вертикали. Стоит отметить, что этот угол не равен углу наклона стержня $\alpha=30^\circ$, что говорит о том, что сила реакции направлена не вдоль стержня. Это возможно, так как жесткий стержень, в отличие от нити, может оказывать воздействие не только вдоль своей оси.

Ответ: Сила направлена вверх и к оси вращения под углом приблизительно $45.6^\circ$ к вертикали.