Номер 13, страница 210 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Синяков

Динамика. Глава 2. Законы механики Ньютона. Параграф 2.14. Примеры решения задач. Упражнение 7 - номер 13, страница 210.

Условие.

13. На оси центробежной машины закреплена нить длиной $l=12,5$ см, на конце которой находится маленький шарик (рис. 2.44). Найдите угол $\alpha$ между нитью и вертикалью, если машина вращается с частотой $\nu_1 = 1$ Гц ($\nu_2 = 2$ Гц).

Рис. 2.44

Решение.

Дано:

$l = 12,5 \text{ см}$

$\nu_1 = 1 \text{ Гц}$

$\nu_2 = 2 \text{ Гц}$

Перевод в систему СИ:

$l = 0,125 \text{ м}$

Найти:

$\alpha_1 - ?$

$\alpha_2 - ?$

Решение:

Шарик, вращающийся на нити, движется по окружности в горизонтальной плоскости и представляет собой конический маятник. На шарик действуют две силы: сила тяжести $\vec{F_g} = m\vec{g}$, направленная вертикально вниз, и сила натяжения нити $\vec{T}$, направленная вдоль нити к точке подвеса.

Равнодействующая этих сил сообщает шарику центростремительное ускорение $\vec{a_c}$, которое направлено горизонтально к центру окружности.

Запишем второй закон Ньютона в проекциях на вертикальную ось Y и горизонтальную ось X:

Ось Y: $T \cos \alpha - mg = 0 \implies T \cos \alpha = mg$ (1)

Ось X: $T \sin \alpha = ma_c$ (2)

Центростремительное ускорение определяется формулой $a_c = \omega^2 r$, где $\omega$ – угловая скорость, а $r$ – радиус окружности. Угловая скорость связана с частотой вращения $\nu$ соотношением $\omega = 2\pi\nu$. Радиус окружности, по которой движется шарик, можно выразить через длину нити $l$ и угол $\alpha$: $r = l \sin \alpha$.

Подставив эти выражения в формулу для ускорения, получим:

$a_c = (2\pi\nu)^2 l \sin \alpha = 4\pi^2\nu^2 l \sin \alpha$

Разделим уравнение (2) на уравнение (1):

$\frac{T \sin \alpha}{T \cos \alpha} = \frac{ma_c}{mg} \implies \tan \alpha = \frac{a_c}{g}$

Подставим выражение для $a_c$:

$\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{4\pi^2\nu^2 l \sin \alpha}{g}$

Это уравнение имеет два возможных решения:

1. $\sin \alpha = 0$, что соответствует $\alpha = 0$. Это решение означает, что шарик висит вертикально.

2. Если $\sin \alpha \neq 0$, то можно сократить обе части уравнения на $\sin \alpha$:

$\frac{1}{\cos \alpha} = \frac{4\pi^2\nu^2 l}{g} \implies \cos \alpha = \frac{g}{4\pi^2\nu^2 l}$

Второе решение физически возможно только при условии $|\cos \alpha| \le 1$, то есть $\frac{g}{4\pi^2\nu^2 l} \le 1$. Из этого неравенства можно найти минимальную (критическую) частоту $\nu_c$, при которой шарик начнет отклоняться от вертикали:

$\nu_c = \sqrt{\frac{g}{4\pi^2 l}} = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{g}{l}}$

Вычислим значение критической частоты, используя $g \approx 9,8 \text{ м/с}^2$:

$\nu_c = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{9,8 \text{ м/с}^2}{0,125 \text{ м}}} \approx \frac{1}{6,28}\sqrt{78,4} \approx \frac{8,85}{6,28} \approx 1,41 \text{ Гц}$

Теперь рассмотрим каждый случай отдельно.

Для частоты $\nu_1 = 1 \text{ Гц}$

Поскольку частота вращения $\nu_1 = 1 \text{ Гц}$ меньше критической частоты $\nu_c \approx 1,41 \text{ Гц}$, центробежной силы недостаточно для отклонения шарика. Единственным устойчивым положением является вертикальное, то есть $\sin \alpha_1 = 0$.

Ответ: $\alpha_1 = 0^\circ$.

Для частоты $\nu_2 = 2 \text{ Гц}$

Поскольку частота вращения $\nu_2 = 2 \text{ Гц}$ больше критической частоты $\nu_c \approx 1,41 \text{ Гц}$, нить с шариком отклонится на угол $\alpha_2$. Для нахождения этого угла используем второе решение:

$\cos \alpha_2 = \frac{g}{4\pi^2\nu_2^2 l}$

Подставим числовые значения:

$\cos \alpha_2 = \frac{9,8 \text{ м/с}^2}{4\pi^2 (2 \text{ Гц})^2 \cdot 0,125 \text{ м}} = \frac{9,8}{4\pi^2 \cdot 4 \cdot 0,125} = \frac{9,8}{2\pi^2} \approx \frac{9,8}{2 \cdot 9,87} \approx \frac{9,8}{19,74} \approx 0,496$

Отсюда находим угол $\alpha_2$:

$\alpha_2 = \arccos(0,496) \approx 60,26^\circ$

Ответ: $\alpha_2 \approx 60,3^\circ$.