Номер 9, страница 210 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Синяков

Динамика. Глава 2. Законы механики Ньютона. Параграф 2.14. Примеры решения задач. Упражнение 7 - номер 9, страница 210.

Условие.

9. На рисунке 2.41 изображена система движущихся тел, имеющих массы $m_1 = m$, $m_2 = 4m$, $m_3 = m$. Наклонная плоскость составляет с горизонтом угол $\alpha = 30^\circ$. Трение отсутствует. Определите силы натяжения нитей.

Рис. 2.41

Решение.

Дано:

$m_1 = m$

$m_2 = 4m$

$m_3 = m$

$\alpha = 30^\circ$

Трение отсутствует

Найти:

$T_1, T_2$ - силы натяжения нитей.

Решение:

В данной системе два тела ($m_1$ и $m_3$) соединены отдельными нерастяжимыми и невесомыми нитями с подвижным блоком, к которому подвешен груз массой $m_2$. Будем считать, что нити прикреплены к оси подвижного блока, и он движется поступательно вместе с грузом $m_2$. Примем, что неподвижные блоки и нити идеальны (невесомы и трение в них отсутствует).

Поскольку нити нерастяжимы и прикреплены к одной точке (оси блока), то перемещение грузов $m_1$ (по горизонтали) и $m_3$ (вдоль наклонной плоскости) будет равно перемещению груза $m_2$ (по вертикали). Следовательно, их ускорения равны по модулю. Обозначим это ускорение как $a$.

Обозначим силу натяжения нити, связанной с грузом $m_1$, как $T_1$, а с грузом $m_3$ — как $T_2$.

Предположим, что система движется так, что груз $m_2$ опускается вниз. Тогда груз $m_1$ движется вправо, а груз $m_3$ — вверх по наклонной плоскости. Запишем второй закон Ньютона для каждого тела в проекциях на направление их движения.

Для тела $m_1$ (движение по горизонтали):

$T_1 = m_1 a$ (1)

Для тела $m_3$ (движение вдоль наклонной плоскости, ось направлена вверх по плоскости):

$T_2 - m_3 g \sin \alpha = m_3 a$ (2)

Для тела $m_2$ (движение по вертикали, ось направлена вниз). Будем считать, что силы натяжения $T_1$ и $T_2$ от нитей действуют на ось блока вертикально вверх.

$m_2 g - (T_1 + T_2) = m_2 a$ (3)

Получили систему из трех уравнений с тремя неизвестными: $T_1, T_2, a$. Решим её.

Из уравнений (1) и (2) выразим силы натяжения $T_1$ и $T_2$ через ускорение $a$:

$T_1 = m_1 a$

$T_2 = m_3 a + m_3 g \sin \alpha$

Подставим эти выражения в уравнение (3):

$m_2 g - (m_1 a + m_3 a + m_3 g \sin \alpha) = m_2 a$

Сгруппируем слагаемые, чтобы найти ускорение $a$:

$m_2 g - m_3 g \sin \alpha = m_1 a + m_2 a + m_3 a$

$g(m_2 - m_3 \sin \alpha) = a(m_1 + m_2 + m_3)$

$a = \frac{g(m_2 - m_3 \sin \alpha)}{m_1 + m_2 + m_3}$

Подставим значения из условия: $m_1 = m, m_2 = 4m, m_3 = m, \alpha = 30^\circ$ (следовательно, $\sin 30^\circ = 0.5$):

$a = \frac{g(4m - m \cdot 0.5)}{m + 4m + m} = \frac{g(3.5m)}{6m} = \frac{3.5}{6} g = \frac{7}{12} g$

Так как $a > 0$, наше предположение о направлении движения было верным.

Теперь найдем силы натяжения нитей, подставив найденное ускорение в выражения для $T_1$ и $T_2$.

Сила натяжения нити, соединенной с телом $m_1$:

$T_1 = m_1 a = m \cdot \frac{7}{12} g = \frac{7}{12} mg$

Сила натяжения нити, соединенной с телом $m_3$:

$T_2 = m_3 a + m_3 g \sin \alpha = m \cdot \frac{7}{12} g + m g \cdot 0.5 = (\frac{7}{12} + \frac{1}{2}) mg = (\frac{7}{12} + \frac{6}{12}) mg = \frac{13}{12} mg$

Ответ: сила натяжения нити, соединенной с телом $m_1$, равна $T_1 = \frac{7}{12} mg$; сила натяжения нити, соединенной с телом $m_3$, равна $T_2 = \frac{13}{12} mg$.