Номер 11, страница 210 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Синяков

Динамика. Глава 2. Законы механики Ньютона. Параграф 2.14. Примеры решения задач. Упражнение 7 - номер 11, страница 210.

Условие.

11. Конус с углом раствора $2\alpha$ вращается вокруг вертикальной оси с угловой скоростью $\omega$ (рис. 2.43). В конусе находится шарик массой $\text{m}$, прикреплённый к внутренней поверхности конуса с помощью нити. Радиус окружности, по которой обращается шарик, равен $\text{R}$. Найдите силу натяжения нити $\text{T}$ и силу давления шарика $\text{P}$ на поверхность конуса. Трение не учитывать.

Рис. 2.43

Решение.

Дано:

Угол раствора конуса: $2\alpha$

Угловая скорость вращения: $\omega$

Масса шарика: $m$

Радиус вращения шарика: $R$

Найти:

Силу натяжения нити $T$

Силу давления шарика на поверхность конуса $P$

Решение:

Шарик движется равномерно по горизонтальной окружности радиусом $R$. Его ускорение является центростремительным, направлено горизонтально к центру окружности (оси вращения) и по величине равно $a_c = \omega^2 R$.

На шарик действуют три силы:

1. Сила тяжести $\vec{F_g} = m\vec{g}$, направленная вертикально вниз.
2. Сила натяжения нити $\vec{T}$, направленная вдоль нити (параллельно образующей конуса).
3. Сила нормальной реакции опоры $\vec{N}$, направленная перпендикулярно внутренней поверхности конуса.

По третьему закону Ньютона, сила давления $P$, которую шарик оказывает на поверхность конуса, равна по модулю и противоположна по направлению силе нормальной реакции $\vec{N}$. Таким образом, $P = N$.

Введем систему координат: ось $OY$ направим вертикально вверх вдоль оси вращения конуса, а ось $OX$ — горизонтально от оси вращения к шарику.

Определим углы, под которыми действуют силы. Угол между образующей конуса и вертикальной осью $OY$ равен $\alpha$. Следовательно, сила натяжения $\vec{T}$ образует угол $\alpha$ с осью $OY$. Сила нормальной реакции $\vec{N}$ перпендикулярна образующей, поэтому она образует угол $\alpha$ с горизонтальной осью $OX$.

Запишем второй закон Ньютона в проекциях на оси координат:

$\sum \vec{F} = m\vec{a}_c$

Проекция на ось $OX$:

$T_x + N_x = m a_c$

$T \sin\alpha + N \cos\alpha = m \omega^2 R$ (1)

Проекция на ось $OY$ (движения в этом направлении нет, $a_y=0$):

$T_y + N_y - mg = 0$

$T \cos\alpha + N \sin\alpha = mg$ (2)

Получили систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными $T$ и $N$. Решим ее. Для нахождения $N$ умножим уравнение (1) на $\cos\alpha$, а уравнение (2) на $\sin\alpha$ и вычтем второе из первого:

$(T \sin\alpha \cos\alpha + N \cos^2\alpha) - (T \cos\alpha \sin\alpha + N \sin^2\alpha) = m \omega^2 R \cos\alpha - mg \sin\alpha$

$N(\cos^2\alpha - \sin^2\alpha) = m(\omega^2 R \cos\alpha - g \sin\alpha)$

Используя формулу косинуса двойного угла $\cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$, получаем:

$N \cos(2\alpha) = m(\omega^2 R \cos\alpha - g \sin\alpha)$

Отсюда находим $N$ и, соответственно, $P$:

$P = N = \frac{m(\omega^2 R \cos\alpha - g \sin\alpha)}{\cos(2\alpha)}$

Для нахождения $T$ умножим уравнение (1) на $\sin\alpha$, а уравнение (2) на $\cos\alpha$ и вычтем первое из второго:

$(T \cos^2\alpha + N \sin\alpha \cos\alpha) - (T \sin^2\alpha + N \sin\alpha \cos\alpha) = mg \cos\alpha - m \omega^2 R \sin\alpha$

$T(\cos^2\alpha - \sin^2\alpha) = m(g \cos\alpha - \omega^2 R \sin\alpha)$

$T \cos(2\alpha) = m(g \cos\alpha - \omega^2 R \sin\alpha)$

Отсюда находим силу натяжения нити $T$:

$T = \frac{m(g \cos\alpha - \omega^2 R \sin\alpha)}{\cos(2\alpha)}$

Ответ:

Сила натяжения нити $T = \frac{m(g \cos\alpha - \omega^2 R \sin\alpha)}{\cos(2\alpha)}$

Сила давления шарика на поверхность конуса $P = \frac{m(\omega^2 R \cos\alpha - g \sin\alpha)}{\cos(2\alpha)}$