Номер 4, страница 209 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Синяков

Упражнение 7. Параграф 2.14. Примеры решения задач. Глава 2. Законы механики Ньютона. Динамика - номер 4, страница 209.

Условие.

4. Груз массой $\text{m}$, подвешенный на нити длиной $\text{L}$, равномерно движется по окружности в горизонтальной плоскости (конический маятник). Нить описывает коническую поверхность, составляя с вертикалью угол $\alpha$. Найдите период $\text{T}$ обращения груза. Чему должна быть равна максимальная сила натяжения нити $\text{F}$, чтобы радиус окружности, по которой движется груз, мог достигнуть значения $\frac{2L}{\sqrt{5}}$?

Решение.

Дано:

Масса груза: $m$
Длина нити: $L$
Угол нити с вертикалью: $\alpha$
Максимальный радиус окружности: $r_{max} = \frac{2L}{\sqrt{5}}$

Найти:

$T$ — период обращения груза
$F$ — максимальная сила натяжения нити

Решение:

Период T обращения груза

На груз, движущийся по окружности, действуют две силы: сила тяжести $F_g = mg$, направленная вертикально вниз, и сила натяжения нити $F_T$, направленная вдоль нити к точке подвеса.
Введём систему координат: ось OY направим вертикально вверх, а ось OX — горизонтально к центру окружности.
Запишем второй закон Ньютона в проекциях на эти оси. Равнодействующая сил сообщает телу центростремительное ускорение $a_c$, направленное по оси OX.

Проекция на ось OY:
$F_T \cos\alpha - mg = 0$
Так как по вертикали движение отсутствует, сумма сил равна нулю. Отсюда выразим силу натяжения нити:
$F_T = \frac{mg}{\cos\alpha}$ (1)

Проекция на ось OX:
$F_T \sin\alpha = m a_c$ (2)
Горизонтальная составляющая силы натяжения является центростремительной силой.

Центростремительное ускорение $a_c$ выражается через угловую скорость $\omega$ и радиус $r$ как $a_c = \omega^2 r$. Радиус окружности $r$, в свою очередь, связан с длиной нити $L$ и углом $\alpha$ соотношением $r = L \sin\alpha$.
Подставим эти выражения, а также выражение для $F_T$ из (1) в уравнение (2):
$\frac{mg}{\cos\alpha} \sin\alpha = m \omega^2 (L \sin\alpha)$
Сократим обе части на $m$ и $\sin\alpha$ (поскольку для движения по окружности $\alpha \neq 0$):
$\frac{g}{\cos\alpha} = \omega^2 L$
Отсюда найдём квадрат угловой скорости:
$\omega^2 = \frac{g}{L \cos\alpha}$

Период обращения $T$ связан с угловой скоростью формулой $T = \frac{2\pi}{\omega}$. Тогда:
$T = \frac{2\pi}{\sqrt{\frac{g}{L \cos\alpha}}} = 2\pi \sqrt{\frac{L \cos\alpha}{g}}$

Ответ: $T = 2\pi \sqrt{\frac{L \cos\alpha}{g}}$.

Максимальная сила натяжения нити F

Из уравнения (1) сила натяжения нити $F_T = \frac{mg}{\cos\alpha}$.
Необходимо найти максимальную силу натяжения $F$, которую должна выдерживать нить, чтобы радиус мог достигнуть значения $r_{max} = \frac{2L}{\sqrt{5}}$.
Сначала найдем синус угла $\alpha$, соответствующий этому радиусу, используя формулу $r = L \sin\alpha$:
$\sin\alpha = \frac{r_{max}}{L} = \frac{2L/\sqrt{5}}{L} = \frac{2}{\sqrt{5}}$

Теперь, используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, найдем косинус этого угла:
$\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha = 1 - \left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right)^2 = 1 - \frac{4}{5} = \frac{1}{5}$
Поскольку для конического маятника угол $0 < \alpha < 90^\circ$, его косинус является положительной величиной:
$\cos\alpha = \sqrt{\frac{1}{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}}$

Наконец, подставим найденное значение $\cos\alpha$ в формулу для силы натяжения, чтобы найти её максимальное значение $F$:
$F = \frac{mg}{\cos\alpha} = \frac{mg}{1/\sqrt{5}} = mg\sqrt{5}$

Ответ: $F = mg\sqrt{5}$.