Номер 2, страница 208 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Синяков

Динамика. Глава 2. Законы механики Ньютона. Параграф 2.14. Примеры решения задач. Упражнение 7 - номер 2, страница 208.

Условие.

2. Проекция $F_x$ силы, действующей на тело, изменяется со временем так, как показано на рисунке 2.38. Сила направлена вдоль оси Х. Начальная скорость и координата тела равны нулю. Начертите графики зависимости проекции скорости $v_x(t)$ и координаты $x(t)$ от времени.

Рис. 2.38

Решение.

Дано:

График зависимости проекции силы $F_x$ от времени $t$ (Рис. 2.38).

Начальная скорость: $v_x(0) = 0$.

Начальная координата: $x(0) = 0$.

Найти:

Графики зависимостей $v_x(t)$ и $x(t)$.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся вторым законом Ньютона и кинематическими уравнениями движения. Согласно второму закону Ньютона, проекция ускорения тела $a_x$ связана с проекцией действующей силы $F_x$ соотношением: $a_x = \frac{F_x}{m}$, где $m$ — масса тела.

Из заданного графика $F_x(t)$ следует, что на разных временных интервалах сила постоянна, а значит, и ускорение будет постоянным. Движение на каждом таком интервале будет равноускоренным.

Обозначим $a_0 = \frac{F_0}{m}$. Тогда, исходя из графика $F_x(t)$, ускорение $a_x(t)$ будет принимать следующие значения:
— при $t \in [0, 1)$ с: $F_x = F_0$, следовательно $a_x = a_0$;
— при $t \in [1, 3)$ с: $F_x = -F_0$, следовательно $a_x = -a_0$;
— при $t \in [3, 5)$ с: $F_x = F_0$, следовательно $a_x = a_0$;
— при $t \in [5, 7)$ с: $F_x = -F_0$, следовательно $a_x = -a_0$.

Теперь, зная ускорение, мы можем найти зависимость скорости $v_x(t)$ и координаты $x(t)$ для каждого интервала, используя начальные условия для каждого следующего интервала, полученные из предыдущего. Формулы для равноускоренного движения при начальном моменте времени $t_0$:

$v_x(t) = v_{x0} + a_x(t - t_0)$

$x(t) = x_0 + v_{x0}(t - t_0) + \frac{a_x(t - t_0)^2}{2}$

Построение графика $v_x(t)$

1. Интервал $t \in [0, 1)$ с:
$a_x = a_0$, $v_x(0) = 0$.
$v_x(t) = 0 + a_0 t = a_0 t$.
В конце интервала при $t=1$ с, скорость будет $v_x(1) = a_0 \cdot 1 = a_0$.
График — прямая линия, выходящая из начала координат и доходящая до точки $(1, a_0)$.

2. Интервал $t \in [1, 3)$ с:
$a_x = -a_0$. Начальная скорость для этого интервала $v_x(1) = a_0$.
$v_x(t) = v_x(1) + a_x(t-1) = a_0 - a_0(t-1) = 2a_0 - a_0 t$.
В конце интервала при $t=3$ с, скорость будет $v_x(3) = a_0 - a_0(3-1) = a_0 - 2a_0 = -a_0$.
График — прямая линия, идущая от точки $(1, a_0)$ до точки $(3, -a_0)$. Скорость обращается в ноль при $t=2$ с.

3. Интервал $t \in [3, 5)$ с:
$a_x = a_0$. Начальная скорость $v_x(3) = -a_0$.
$v_x(t) = v_x(3) + a_x(t-3) = -a_0 + a_0(t-3) = a_0 t - 4a_0$.
В конце интервала при $t=5$ с, скорость будет $v_x(5) = -a_0 + a_0(5-3) = -a_0 + 2a_0 = a_0$.
График — прямая линия, идущая от точки $(3, -a_0)$ до точки $(5, a_0)$. Скорость обращается в ноль при $t=4$ с.

Продолжая аналогичные рассуждения, видим, что график $v_x(t)$ имеет периодический характер.

Построение графика $x(t)$

1. Интервал $t \in [0, 1)$ с:
$a_x = a_0$, $x(0) = 0$, $v_x(0) = 0$.
$x(t) = x(0) + v_x(0)t + \frac{a_x t^2}{2} = \frac{a_0 t^2}{2}$.
В конце интервала при $t=1$ с, координата $x(1) = \frac{a_0 \cdot 1^2}{2} = \frac{a_0}{2}$.
График — ветвь параболы, направленная вверх, идущая из точки $(0, 0)$ в точку $(1, \frac{a_0}{2})$.

2. Интервал $t \in [1, 3)$ с:
$a_x = -a_0$. Начальные условия: $x(1) = \frac{a_0}{2}$, $v_x(1) = a_0$.
$x(t) = x(1) + v_x(1)(t-1) + \frac{a_x(t-1)^2}{2} = \frac{a_0}{2} + a_0(t-1) - \frac{a_0(t-1)^2}{2}$.
В конце интервала при $t=3$ с, координата $x(3) = \frac{a_0}{2} + a_0(3-1) - \frac{a_0(3-1)^2}{2} = \frac{a_0}{2}$.
График — ветвь параболы, направленная вниз. Максимум достигается при $v_x=0$, то есть при $t=2$ с: $x(2) = \frac{a_0}{2} + a_0(2-1) - \frac{a_0(2-1)^2}{2} = a_0$.

3. Интервал $t \in [3, 5)$ с:
$a_x = a_0$. Начальные условия: $x(3) = \frac{a_0}{2}$, $v_x(3) = -a_0$.
$x(t) = x(3) + v_x(3)(t-3) + \frac{a_x(t-3)^2}{2} = \frac{a_0}{2} - a_0(t-3) + \frac{a_0(t-3)^2}{2}$.
В конце интервала при $t=5$ с, координата $x(5) = \frac{a_0}{2} - a_0(5-3) + \frac{a_0(5-3)^2}{2} = \frac{a_0}{2}$.
График — ветвь параболы, направленная вверх. Минимум достигается при $v_x=0$, то есть при $t=4$ с: $x(4) = \frac{a_0}{2} - a_0(4-3) + \frac{a_0(4-3)^2}{2} = 0$.

Движение является периодическим с периодом 4 с.

Ответ:

График зависимости проекции скорости $v_x(t)$

График $v_x(t)$ представляет собой непрерывную ломаную линию ("пилообразную" волну), проходящую через следующие ключевые точки: $(0, 0)$, $(1, a_0)$, $(3, -a_0)$, $(5, a_0)$, $(7, -a_0)$, и так далее, где $a_0 = F_0/m$. Ось времени пересекается в точках $t=0, 2, 4, 6, \dots$ с. Максимальная скорость $v_{max} = a_0$ достигается в моменты $t=1, 5, 9, \dots$ с, а минимальная скорость $v_{min} = -a_0$ в моменты $t=3, 7, 11, \dots$ с.

График зависимости координаты $x(t)$

График $x(t)$ представляет собой непрерывную кривую, состоящую из сшитых участков парабол:
— на интервале $[0, 1]$ — ветвь параболы, направленная вверх, из $(0, 0)$ в $(1, a_0/2)$;
— на интервале $[1, 3]$ — ветвь параболы, направленная вниз, из $(1, a_0/2)$ в $(3, a_0/2)$ с вершиной (максимумом) в точке $(2, a_0)$;
— на интервале $[3, 5]$ — ветвь параболы, направленная вверх, из $(3, a_0/2)$ в $(5, a_0/2)$ с вершиной (минимумом) в точке $(4, 0)$;
— далее движение повторяется с периодом 4 с.
Тело совершает колебательное движение, при этом его координата всегда неотрицательна ($x(t) \ge 0$).