Номер 3, страница 288 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Синяков

Динамика. Глава 4. Неинерциальные системы отсчёта. Силы инерции. Параграф 4.5. Примеры решения задач. Упражнение 9 - номер 3, страница 288.

Условие.

3. На экваторе планеты тела весят вдвое меньше, чем на полюсе. Определите период $\text{T}$ вращения планеты вокруг своей оси, рассматривая её как однородный шар со средней плотностью вещества $\rho = 3000 \text{ кг/м}^3$.

Решение.

Дано:

Отношение веса тела на экваторе к весу на полюсе: $ \frac{P_{экв}}{P_{пол}} = \frac{1}{2} $
Средняя плотность вещества планеты: $ \rho = 3000 \frac{кг}{м^3} $
Гравитационная постоянная: $ G \approx 6.674 \cdot 10^{-11} \frac{Н \cdot м^2}{кг^2} $

Найти:

Период вращения планеты $T$.

Решение:

Вес тела — это сила, с которой тело действует на опору или подвес. На полюсе планеты тело не движется по окружности, поэтому его вес $P_{пол}$ равен силе гравитационного притяжения $F_g$:

$ P_{пол} = F_g = G \frac{M m}{R^2} $

где $M$ – масса планеты, $m$ – масса тела, $R$ – радиус планеты.

На экваторе тело вращается вместе с планетой с угловой скоростью $ \omega $. На тело действуют две силы: сила гравитационного притяжения $F_g$ (направлена к центру) и сила реакции опоры $N$ (направлена от центра). Равнодействующая этих сил сообщает телу центростремительное ускорение $a_ц = \omega^2 R$. Вес тела на экваторе $P_{экв}$ по модулю равен силе реакции опоры $N$.

Согласно второму закону Ньютона:

$ F_g - N = m a_ц $

Подставляя $N = P_{экв}$, $F_g$ и $a_ц$, получаем выражение для веса на экваторе:

$ P_{экв} = F_g - m a_ц = G \frac{M m}{R^2} - m \omega^2 R $

По условию задачи вес на экваторе вдвое меньше, чем на полюсе:

$ P_{экв} = \frac{1}{2} P_{пол} $

Подставим выражения для весов в это соотношение:

$ G \frac{M m}{R^2} - m \omega^2 R = \frac{1}{2} \left( G \frac{M m}{R^2} \right) $

Сократив на массу тела $m$ и перегруппировав слагаемые, получим:

$ \frac{1}{2} G \frac{M}{R^2} = \omega^2 R $

Так как планета рассматривается как однородный шар, её массу $M$ можно выразить через среднюю плотность $ \rho $ и объём $V = \frac{4}{3} \pi R^3$:

$ M = \rho V = \rho \cdot \frac{4}{3} \pi R^3 $

Подставим выражение для массы в предыдущую формулу:

$ \frac{1}{2} G \frac{\rho \frac{4}{3} \pi R^3}{R^2} = \omega^2 R $

$ \frac{2}{3} G \rho \pi R = \omega^2 R $

Сократим обе части уравнения на радиус $R$. Видно, что результат не зависит от размера планеты.

$ \omega^2 = \frac{2 \pi G \rho}{3} $

Угловая скорость $ \omega $ связана с периодом вращения $T$ соотношением $ \omega = \frac{2 \pi}{T} $. Подставим его в уравнение:

$ \left( \frac{2 \pi}{T} \right)^2 = \frac{2 \pi G \rho}{3} $

$ \frac{4 \pi^2}{T^2} = \frac{2 \pi G \rho}{3} $

Выразим отсюда $T^2$:

$ T^2 = \frac{4 \pi^2 \cdot 3}{2 \pi G \rho} = \frac{6 \pi}{G \rho} $

Теперь найдем период $T$:

$ T = \sqrt{\frac{6 \pi}{G \rho}} $

Подставим числовые значения и произведем расчет:

$ T = \sqrt{\frac{6 \cdot 3.14159}{6.674 \cdot 10^{-11} \cdot 3000}} \approx \sqrt{\frac{18.8495}{2.0022 \cdot 10^{-7}}} \approx \sqrt{9.4144 \cdot 10^7} \approx 9703 \text{ с} $

Для удобства восприятия можно перевести секунды в часы:

$ T \approx \frac{9703 \text{ с}}{3600 \text{ с/ч}} \approx 2.695 \text{ ч} $

Ответ: $T = \sqrt{\frac{6 \pi}{G \rho}} \approx 9703 \text{ с}$ (что составляет примерно 2.7 часа).