Номер 5, страница 288 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Синяков

Динамика. Глава 4. Неинерциальные системы отсчёта. Силы инерции. Параграф 4.5. Примеры решения задач. Упражнение 9 - номер 5, страница 288.

Условие.

5. Наклонная плоскость (рис. 4.14) с углом наклона $\alpha$ движется влево с ускорением $\vec{a}$. При каком значении ускорения тело, лежащее на наклонной плоскости, начнёт подниматься вдоль плоскости? Коэффициент трения между телом и плоскостью равен $\mu$.

Рис. 4.14

Решение.

Дано:

Угол наклона плоскости: $ \alpha $

Коэффициент трения между телом и плоскостью: $ \mu $

Найти:

Значение модуля ускорения $ a $, при котором тело начнёт подниматься вдоль плоскости.

Решение:

Для решения задачи удобно перейти в неинерциальную систему отсчёта (НИСО), жёстко связанную с наклонной плоскостью. В этой системе отсчёта на тело массой $ m $, помимо реальных сил, действует сила инерции $ \vec{F}_{ин} = -m\vec{a} $. Поскольку наклонная плоскость движется с ускорением $ \vec{a} $ влево, сила инерции направлена горизонтально вправо, а её модуль равен $ F_{ин} = ma $.

Рассмотрим силы, действующие на тело в этой НИСО. Это сила тяжести $ m\vec{g} $, направленная вертикально вниз, сила нормальной реакции опоры $ \vec{N} $, направленная перпендикулярно плоскости, сила трения $ \vec{F}_{тр} $ и сила инерции $ \vec{F}_{ин} $.По условию, тело начинает подниматься вверх по плоскости. Это означает, что мы рассматриваем предельный случай, когда тело ещё находится в равновесии, но готово начать движение. В этом случае сила трения является силой трения покоя, достигшей своего максимального значения $ F_{тр} = \mu N $, и направлена она против возможного движения, то есть вниз вдоль наклонной плоскости.

Выберем систему координат с осью $ Ox $, направленной вверх вдоль наклонной плоскости, и осью $ Oy $, направленной перпендикулярно плоскости. Запишем условие равновесия тела (сумма всех сил, включая силу инерции, равна нулю) в проекциях на эти оси.

Проекция на ось $ Oy $:

$ \sum F_y = N - mg \cos\alpha - F_{ин} \sin\alpha = 0 $

Подставляя $ F_{ин} = ma $, получаем:

$ N - mg \cos\alpha - ma \sin\alpha = 0 $

Отсюда выразим силу нормальной реакции:

$ N = mg \cos\alpha + ma \sin\alpha $ (1)

Проекция на ось $ Ox $:

$ \sum F_x = F_{ин} \cos\alpha - mg \sin\alpha - F_{тр} = 0 $

Подставляем $ F_{ин} = ma $ и $ F_{тр} = \mu N $:

$ ma \cos\alpha - mg \sin\alpha - \mu N = 0 $ (2)

Теперь подставим выражение для $ N $ из уравнения (1) в уравнение (2):

$ ma \cos\alpha - mg \sin\alpha - \mu (mg \cos\alpha + ma \sin\alpha) = 0 $

Сгруппируем слагаемые, содержащие искомое ускорение $ a $, в левой части уравнения, а остальные — в правой:

$ ma \cos\alpha - \mu ma \sin\alpha = mg \sin\alpha + \mu mg \cos\alpha $

Вынесем $ ma $ и $ mg $ за скобки:

$ ma(\cos\alpha - \mu \sin\alpha) = mg(\sin\alpha + \mu \cos\alpha) $

Сократим массу $ m $ и выразим ускорение $ a $:

$ a = g \frac{\sin\alpha + \mu \cos\alpha}{\cos\alpha - \mu \sin\alpha} $

Это выражение можно упростить, разделив числитель и знаменатель на $ \cos\alpha $ (при условии, что $ \alpha \neq 90^\circ $):

$ a = g \frac{\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} + \mu}{1 - \mu \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}} = g \frac{\tan\alpha + \mu}{1 - \mu \tan\alpha} $

Заметим, что решение имеет физический смысл, только если знаменатель положителен: $ \cos\alpha - \mu \sin\alpha > 0 $, что эквивалентно $ \tan\alpha < 1/\mu $. Если $ \tan\alpha \ge 1/\mu $, то тело не будет оставаться в покое на плоскости даже без её ускорения, либо начнет подниматься при любом, даже сколь угодно малом, ускорении $ a $.

Ответ: Тело начнёт подниматься вдоль плоскости при значении ускорения $ a = g \frac{\sin\alpha + \mu \cos\alpha}{\cos\alpha - \mu \sin\alpha} $ или, в другой форме, $ a = g \frac{\tan\alpha + \mu}{1 - \mu \tan\alpha} $.