Номер 4, страница 288 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Синяков

Динамика. Глава 4. Неинерциальные системы отсчёта. Силы инерции. Параграф 4.5. Примеры решения задач. Упражнение 9 - номер 4, страница 288.

Условие.

4. Металлическая цепочка длиной $l = 0,5$ м, концы которой соединены, насажена на деревянный диск (рис. 4.13). Диск вращается с частотой $n = 60$ об/с. Масса цепочки $m = 40$ г. Определите силу натяжения $\text{T}$ цепочки.

Рис. 4.13

Решение.

Дано:

Длина цепочки $l = 0,5$ м

Частота вращения $n = 60$ об/с

Масса цепочки $m = 40$ г

В системе СИ:

$m = 40 \cdot 10^{-3} \text{ кг} = 0,04 \text{ кг}$

$n = 60 \text{ с}^{-1}$

Найти:

Силу натяжения $T$

Решение:

Когда цепочка вращается, на каждый ее элемент действует центростремительная сила, которая обеспечивается силой натяжения $T$ самой цепочки. Чтобы найти эту силу, рассмотрим небольшой элемент цепочки длиной $dl$ и массой $dm$.

Цепочка образует окружность, длина которой равна $l$. Радиус этой окружности $R$ связан с длиной соотношением $l = 2\pi R$, откуда $R = \frac{l}{2\pi}$.

Угловая скорость вращения цепочки $\omega$ связана с частотой $n$ формулой $\omega = 2\pi n$.

Рассмотрим малый элемент цепочки $dm$. Для его вращения по окружности радиусом $R$ с угловой скоростью $\omega$ необходима центростремительная сила $dF_c$. Согласно второму закону Ньютона:

$dF_c = dm \cdot a_c = dm \cdot \omega^2 R$

Массу элемента $dm$ можно выразить через линейную плотность $\mu = \frac{m}{l}$ и длину элемента $dl$: $dm = \mu \, dl = \frac{m}{l} \, dl$.

Таким образом, $dF_c = \frac{m}{l} dl \cdot \omega^2 R$.

Эта центростремительная сила создается равнодействующей сил натяжения $T$, приложенных к концам элемента $dl$. Если элемент $dl$ стягивает малый центральный угол $d\theta$, то равнодействующая сил натяжения, направленная к центру, равна $2T \sin(\frac{d\theta}{2})$.

Для малого угла $d\theta$ справедливо приближение $\sin(\frac{d\theta}{2}) \approx \frac{d\theta}{2}$. Тогда равнодействующая сила равна $dF_c \approx 2T \cdot \frac{d\theta}{2} = T \, d\theta$.

Длина дуги $dl$ связана с углом $d\theta$ как $dl = R \, d\theta$, откуда $d\theta = \frac{dl}{R}$.

Подставив это в выражение для силы, получаем $dF_c = T \frac{dl}{R}$.

Теперь приравняем два полученных выражения для центростремительной силы $dF_c$:

$T \frac{dl}{R} = \frac{m}{l} dl \cdot \omega^2 R$

Сократим $dl$ в обеих частях уравнения и выразим $T$:

$T = \frac{m}{l} \omega^2 R^2$

Теперь подставим ранее найденные выражения для $\omega = 2\pi n$ и $R = \frac{l}{2\pi}$:

$T = \frac{m}{l} (2\pi n)^2 \left(\frac{l}{2\pi}\right)^2 = \frac{m}{l} \cdot 4\pi^2 n^2 \cdot \frac{l^2}{4\pi^2}$

Сокращаем $4\pi^2$ и $l$, получая итоговую формулу:

$T = m n^2 l$

Подставим числовые значения из условия задачи в систему СИ:

$T = 0,04 \text{ кг} \cdot (60 \text{ с}^{-1})^2 \cdot 0,5 \text{ м}$

$T = 0,04 \cdot 3600 \cdot 0,5 \text{ Н}$

$T = 0,04 \cdot 1800 \text{ Н}$

$T = 72 \text{ Н}$

Ответ:

Сила натяжения цепочки равна $72$ Н.