Номер 1, страница 463 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Синяков

Движение твёрдых и деформируемых тел. Глава 9. Механика деформируемых тел. Параграф 9.7. Закон Архимеда - номер 1, страница 463.

Условие.

? 1. Два сплошных тела различных масс уравновешены на рычаге. Тела опускают в воду. Нарушится ли равновесие рычага и почему?

Решение.

Решение

Да, равновесие рычага, как правило, нарушится. Ниже приведено подробное объяснение.

1. Начальное состояние (в воздухе).

Пусть массы двух сплошных тел равны $m_1$ и $m_2$, и по условию они различны ($m_1 \neq m_2$). Они уравновешены на рычаге с плечами $L_1$ и $L_2$. Условие равновесия рычага заключается в равенстве моментов сил, действующих на его плечи. В воздухе (пренебрегая силой Архимеда в воздухе) на тела действуют силы тяжести $P_1 = m_1 g$ и $P_2 = m_2 g$.

Условие равновесия моментов: $M_1 = M_2$.

$P_1 L_1 = P_2 L_2$

$m_1 g L_1 = m_2 g L_2$

Сократив на ускорение свободного падения $g$, получаем основное соотношение для начального состояния:

$m_1 L_1 = m_2 L_2$ (1)

2. Конечное состояние (в воде).

При погружении тел в воду на каждое из них, помимо силы тяжести, начинает действовать выталкивающая сила Архимеда, направленная вертикально вверх. Величина этой силы для каждого тела равна:

$F_{А1} = \rho_в g V_1$

$F_{А2} = \rho_в g V_2$

где $\rho_в$ — плотность воды, а $V_1$ и $V_2$ — объемы тел.

В результате этого результирующие силы (кажущийся вес тел), действующие на рычаг, уменьшатся и станут равными:

$P'_1 = P_1 - F_{А1} = m_1 g - \rho_в g V_1$

$P'_2 = P_2 - F_{А2} = m_2 g - \rho_в g V_2$

Соответственно, новыми моментами сил будут:

$M'_1 = P'_1 L_1 = (m_1 g - \rho_в g V_1) L_1$

$M'_2 = P'_2 L_2 = (m_2 g - \rho_в g V_2) L_2$

3. Анализ равновесия в воде.

Равновесие рычага сохранится только в том случае, если новые моменты сил останутся равными, то есть $M'_1 = M'_2$:

$(m_1 g - \rho_в g V_1) L_1 = (m_2 g - \rho_в g V_2) L_2$

Раскроем скобки:

$m_1 g L_1 - \rho_в g V_1 L_1 = m_2 g L_2 - \rho_в g V_2 L_2$

Из начального условия равновесия (1) мы знаем, что $m_1 g L_1 = m_2 g L_2$. Вычтем эти равные величины из обеих частей уравнения. Условие сохранения равновесия примет вид:

$-\rho_в g V_1 L_1 = -\rho_в g V_2 L_2$

Это равенство выполняется, только если $V_1 L_1 = V_2 L_2$.

Теперь свяжем это условие с плотностями тел. Объем тела равен его массе, деленной на плотность: $V = m/\rho$. Подставим объемы $V_1 = m_1/\rho_1$ и $V_2 = m_2/\rho_2$ в полученное условие:

$\frac{m_1}{\rho_1} L_1 = \frac{m_2}{\rho_2} L_2$

Учитывая, что из начального условия (1) $m_1 L_1 = m_2 L_2$, для выполнения последнего равенства необходимо, чтобы знаменатели были равны, то есть $\rho_1 = \rho_2$.

Вывод: равновесие рычага при погружении тел в воду сохранится только в исключительном случае, когда плотности тел одинаковы.

Поскольку в условии задачи сказано лишь, что массы тел различны, но не дано никакой информации об их материале или плотности, следует рассматривать общий случай. В общем случае тела с разными массами сделаны из разных материалов и имеют разные плотности ($\rho_1 \neq \rho_2$). Следовательно, условие сохранения равновесия не будет выполняться.

Ответ: Да, равновесие рычага нарушится. Это произойдет потому, что на погруженные в воду тела действуют выталкивающие силы Архимеда, которые уменьшают моменты сил, создаваемые телами. Изменение момента силы зависит от объема тела. Для сохранения равновесия необходимо, чтобы уменьшение моментов с обеих сторон было одинаковым, что математически возможно только в том случае, если тела имеют одинаковую плотность. Так как в общем случае тела с разными массами имеют и разные плотности, выталкивающие силы изменят моменты сил на разную величину, и равновесие будет нарушено.