Номер 12, страница 51 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Синяков

Глава 2. Основы молекулярно-кинетической теории. Параграф 2.7. Примеры решения задач. Упражнение 1 - номер 12, страница 51.

Условие.

12. Какую площадь $\text{S}$ имеет поверхность золотой фольги массой $m = 1 \text{ г}$, если толщина её составляет $n = 10^4$ молекулярных слоёв? Плотность золота $\rho = 1,93 \cdot 10^4 \text{ кг/м}^3$.

Решение.

Дано:

Масса фольги, $m = 1 \text{ г}$

Толщина в молекулярных слоях, $n = 10^4$

Плотность золота, $\rho = 1.93 \cdot 10^4 \text{ кг/м}^3$

$m = 1 \cdot 10^{-3} \text{ кг}$

Найти:

Площадь поверхности, $\text{S}$

Решение:

Для решения задачи потребуются справочные данные:

Молярная масса золота (Au): $M \approx 197 \text{ г/моль} = 0.197 \text{ кг/моль}$

Постоянная Авогадро: $N_A \approx 6.022 \cdot 10^{23} \text{ моль}^{-1}$

1. Объем $\text{V}$ золотой фольги можно выразить через ее массу $\text{m}$ и плотность $\rho$:

$V = \frac{m}{\rho}$

2. С другой стороны, объем фольги можно представить как произведение ее площади $\text{S}$ на толщину $\text{h}$:

$V = S \cdot h$

3. Приравнивая два выражения для объема, получаем формулу для площади:

$S \cdot h = \frac{m}{\rho} \implies S = \frac{m}{\rho \cdot h}$

4. Толщина фольги $\text{h}$ состоит из $\text{n}$ молекулярных слоев. Толщину одного слоя можно принять равной диаметру атома золота $\text{d}$. Тогда общая толщина фольги:

$h = n \cdot d$

5. Чтобы найти диаметр атома золота $\text{d}$, воспользуемся известными плотностью, молярной массой и числом Авогадро. Сначала найдем массу одного атома золота $m_0$:

$m_0 = \frac{M}{N_A}$

6. Зная массу одного атома и плотность золота, можно найти объем $V_0$, занимаемый одним атомом. Будем считать, что атомы плотно упакованы и каждый занимает объем, близкий к кубу со стороной $\text{d}$:

$V_0 = \frac{m_0}{\rho} = d^3$

7. Из этого соотношения выразим диаметр атома $\text{d}$:

$d = \sqrt[3]{V_0} = \sqrt[3]{\frac{m_0}{\rho}} = \sqrt[3]{\frac{M}{N_A \cdot \rho}}$

8. Теперь проведем вычисления. Сначала найдем диаметр атома золота:

$d = \sqrt[3]{\frac{0.197 \text{ кг/моль}}{6.022 \cdot 10^{23} \text{ моль}^{-1} \cdot 1.93 \cdot 10^4 \text{ кг/м}^3}} \approx \sqrt[3]{1.695 \cdot 10^{-29} \text{ м}^3} \approx 2.57 \cdot 10^{-10} \text{ м}$

Далее вычислим толщину фольги:

$h = n \cdot d = 10^4 \cdot 2.57 \cdot 10^{-10} \text{ м} = 2.57 \cdot 10^{-6} \text{ м}$

Наконец, рассчитаем площадь поверхности фольги:

$S = \frac{m}{\rho \cdot h} = \frac{1 \cdot 10^{-3} \text{ кг}}{1.93 \cdot 10^4 \text{ кг/м}^3 \cdot 2.57 \cdot 10^{-6} \text{ м}} \approx \frac{1 \cdot 10^{-3}}{0.0496} \text{ м}^2 \approx 0.0202 \text{ м}^2$

Ответ: $S \approx 0.0202 \text{ м}^2$.