Номер 3, страница 316 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Синяков

Глава 8. Твёрдые тела и их превращение в жидкости. Параграф 8.10. Примеры решения задач. Упражнение 7 - номер 3, страница 316.

Условие.

3. Сколько элементарных ячеек содержится в 1 см³ свинца? Кристаллическая решётка свинца гранецентрированная (см. рис. 8.9). Плотность свинца $\\rho= 11\,300 \text{ кг/м}^3$. Молярная масса свинца $M=0,207 \text{ кг/моль}$. Постоянная Авогадро $N_{\text{A}} = 6,02 \cdot 10^{-23} \text{ моль}^{-1}$.

Решение.

Дано:

Объем свинца $V = 1$ см³

Плотность свинца $\rho = 11300$ кг/м³

Молярная масса свинца $M = 0,207$ кг/моль

Постоянная Авогадро $N_A = 6,02 \cdot 10^{23}$ моль⁻¹

Кристаллическая решётка – гранецентрированная кубическая (ГЦК)

Перевод в систему СИ:

$V = 1 \text{ см³} = (10^{-2} \text{ м})^3 = 10^{-6} \text{ м³}$

Найти:

Число элементарных ячеек в заданном объеме свинца – $N_{ячеек}$.

Решение:

1. Определим количество атомов в одной элементарной ячейке свинца. Свинец имеет гранецентрированную кубическую (ГЦК) решётку. В такой ячейке атомы расположены в 8 вершинах куба и в центре каждой из 6 граней.

Каждый атом в вершине принадлежит 8 соседним ячейкам, поэтому на одну ячейку приходится $1/8$ каждого вершинного атома. Всего вершин 8, следовательно, вклад от вершинных атомов: $8 \cdot \frac{1}{8} = 1$ атом.

Каждый атом в центре грани принадлежит 2 соседним ячейкам, поэтому на одну ячейку приходится $1/2$ каждого атома на грани. Всего граней 6, следовательно, вклад от атомов на гранях: $6 \cdot \frac{1}{2} = 3$ атома.

Общее число атомов в одной элементарной ячейке ($\text{n}$): $n = 1 + 3 = 4$ атома.

2. Найдём массу одной элементарной ячейки ($m_{яч}$). Она равна произведению числа атомов в ячейке ($\text{n}$) на массу одного атома свинца ($m_0$). Массу одного атома можно найти, разделив молярную массу ($\text{M}$) на число Авогадро ($N_A$).

$m_{яч} = n \cdot m_0 = n \cdot \frac{M}{N_A}$

3. Найдём объём одной элементарной ячейки ($V_{яч}$), используя формулу плотности $\rho = \frac{m}{V}$.

$V_{яч} = \frac{m_{яч}}{\rho} = \frac{n \cdot M}{\rho \cdot N_A}$

4. Теперь найдём общее число элементарных ячеек ($N_{ячеек}$) в заданном объёме свинца ($\text{V}$), разделив общий объём на объём одной ячейки.

$N_{ячеек} = \frac{V}{V_{яч}} = \frac{V}{\frac{n \cdot M}{\rho \cdot N_A}} = \frac{V \cdot \rho \cdot N_A}{n \cdot M}$

5. Подставим числовые значения и произведём расчёт:

$N_{ячеек} = \frac{10^{-6} \text{ м³} \cdot 11300 \text{ кг/м³} \cdot 6,02 \cdot 10^{23} \text{ моль⁻¹}}{4 \cdot 0,207 \text{ кг/моль}} = \frac{6,8026 \cdot 10^{21}}{0,828} \approx 8,2157 \cdot 10^{21}$

Округлим результат до трёх значащих цифр.

$N_{ячеек} \approx 8,22 \cdot 10^{21}$

Ответ: в 1 см³ свинца содержится примерно $8,22 \cdot 10^{21}$ элементарных ячеек.