Номер 6, страница 316 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Синяков

Глава 8. Твёрдые тела и их превращение в жидкости. Параграф 8.10. Примеры решения задач. Упражнение 7 - номер 6, страница 316.

Условие.

6. Какая температура установится в латунном калориметре массой $m_1 = 160$ г, содержащем $m_2 = 400$ г воды при температуре $t_1 = 25^\circ \text{С}$, после того как расплавится помещенный в воду кусок льда массой $m_3 = 50$ г, взятый при температуре $t_2 = 0^\circ \text{С}$? Удельные теплоёмкости латуни и воды равны соответственно $c_1 = 380 \text{ Дж}/(\text{кг}\cdot\text{К})$ и $c_2 = 4,2 \cdot 10^3 \text{ Дж}/(\text{кг}\cdot\text{К})$. Удельная теплота плавления льда $\lambda = 3,34 \cdot 10^5 \text{ Дж}/\text{кг}$.

Решение.

Дано

Масса латунного калориметра, $m_1 = 160$ г = $0,16$ кг
Масса воды в калориметре, $m_2 = 400$ г = $0,4$ кг
Начальная температура калориметра и воды, $t_1 = 25$ °C
Масса льда, $m_3 = 50$ г = $0,05$ кг
Начальная температура льда, $t_2 = 0$ °C
Удельная теплоёмкость латуни, $c_1 = 380$ Дж/(кг·К)
Удельная теплоёмкость воды, $c_2 = 4,2 \cdot 10^3$ Дж/(кг·К) = $4200$ Дж/(кг·К)
Удельная теплота плавления льда, $\lambda = 3,34 \cdot 10^5$ Дж/кг

Найти:

Установившуюся температуру, $\text{t}$.

Решение

Для решения задачи воспользуемся уравнением теплового баланса, согласно которому в изолированной системе количество теплоты, отданное более нагретыми телами, равно количеству теплоты, полученному менее нагретыми телами.

В данном случае теплоту отдают калориметр и вода, охлаждаясь от начальной температуры $t_1$ до конечной температуры $\text{t}$. Отданное количество теплоты ($Q_{отд}$) складывается из теплоты, отданной калориметром ($Q_1$), и теплоты, отданной водой ($Q_2$):
$Q_{отд} = Q_1 + Q_2 = c_1 m_1 (t_1 - t) + c_2 m_2 (t_1 - t) = (c_1 m_1 + c_2 m_2)(t_1 - t)$

Теплоту получает лед. Процесс получения теплоты льдом состоит из двух этапов:
1. Плавление льда при температуре $t_2 = 0$ °C. Количество теплоты, необходимое для этого: $Q_3 = \lambda m_3$.
2. Нагревание воды, образовавшейся изо льда, от температуры $t_2=0$ °C до конечной температуры $\text{t}$. Количество теплоты, необходимое для этого: $Q_4 = c_2 m_3 (t - t_2)$.

Суммарное полученное количество теплоты ($Q_{получ}$) равно:
$Q_{получ} = Q_3 + Q_4 = \lambda m_3 + c_2 m_3 (t - 0) = \lambda m_3 + c_2 m_3 t$

Составим уравнение теплового баланса $Q_{отд} = Q_{получ}$:
$(c_1 m_1 + c_2 m_2)(t_1 - t) = \lambda m_3 + c_2 m_3 t$

Раскроем скобки и выразим искомую температуру $\text{t}$:
$c_1 m_1 t_1 + c_2 m_2 t_1 - c_1 m_1 t - c_2 m_2 t = \lambda m_3 + c_2 m_3 t$
$c_1 m_1 t_1 + c_2 m_2 t_1 - \lambda m_3 = c_1 m_1 t + c_2 m_2 t + c_2 m_3 t$
$(c_1 m_1 + c_2 m_2)t_1 - \lambda m_3 = (c_1 m_1 + c_2 m_2 + c_2 m_3)t$
$t = \frac{(c_1 m_1 + c_2 m_2)t_1 - \lambda m_3}{c_1 m_1 + c_2(m_2 + m_3)}$

Подставим числовые значения в полученную формулу:
$t = \frac{(380 \frac{Дж}{кг \cdot К} \cdot 0,16 \text{ кг} + 4200 \frac{Дж}{кг \cdot К} \cdot 0,4 \text{ кг}) \cdot 25 \text{ °C} - 3,34 \cdot 10^5 \frac{Дж}{кг} \cdot 0,05 \text{ кг}}{380 \frac{Дж}{кг \cdot К} \cdot 0,16 \text{ кг} + 4200 \frac{Дж}{кг \cdot К} \cdot (0,4 \text{ кг} + 0,05 \text{ кг})}$
$t = \frac{(60,8 + 1680) \cdot 25 - 16700}{60,8 + 4200 \cdot 0,45} \text{ °C}$
$t = \frac{1740,8 \cdot 25 - 16700}{60,8 + 1890} \text{ °C}$
$t = \frac{43520 - 16700}{1950,8} \text{ °C}$
$t = \frac{26820}{1950,8} \text{ °C} \approx 13,75 \text{ °C}$

Ответ: установится температура примерно $13,75$ °C.