Номер 12, страница 317 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Синяков

Глава 8. Твёрдые тела и их превращение в жидкости. Параграф 8.10. Примеры решения задач. Упражнение 7 - номер 12, страница 317.

Условие.

12. Сосуд со 100 г воды при температуре $0 ^{\circ}\text{C}$ был подвешен посредине комнаты. Через 15 мин температура воды в нём поднялась до $2 ^{\circ}\text{C}$. Когда же в сосуде находилось равное по массе количество льда, то лёд растаял за 10 ч. Можно ли по этим данным оценить удельную теплоту плавления льда $\lambda$?

Решение.

Дано:

Масса воды, $m_в = 100$ г
Начальная температура воды, $T_{1в} = 0$ °С
Конечная температура воды, $T_{2в} = 2$ °С
Время нагревания воды, $\Delta t_1 = 15$ мин
Масса льда, $m_л = 100$ г
Температура плавления льда, $T_{пл} = 0$ °С
Время плавления льда, $\Delta t_2 = 10$ ч
Удельная теплоемкость воды, $c_в = 4200$ Дж/(кг·°С)

Перевод в систему СИ:
$m = m_в = m_л = 100 \text{ г} = 0.1$ кг
$\Delta t_1 = 15 \text{ мин} = 15 \cdot 60 \text{ с} = 900$ с
$\Delta t_2 = 10 \text{ ч} = 10 \cdot 3600 \text{ с} = 36000$ с

Найти:

Возможность оценить удельную теплоту плавления льда $\lambda$.

Решение:

В обоих случаях (нагревание воды и плавление льда) сосуд получает тепло от окружающего воздуха в комнате. Будем считать, что мощность теплопередачи (скорость получения тепла) пропорциональна разности температур между воздухом в комнате ($T_{комн}$) и содержимым сосуда ($\text{T}$).

$P = k(T_{комн} - T)$

где $\text{k}$ – коэффициент теплопередачи, который зависит от свойств сосуда и условий теплообмена, но одинаков в обоих экспериментах.

1. Нагревание воды.

Количество теплоты, полученное водой для нагревания от $T_{1в} = 0$ °С до $T_{2в} = 2$ °С, равно:

$Q_1 = c_в m (T_{2в} - T_{1в}) = 4200 \frac{\text{Дж}}{\text{кг}\cdot\text{°С}} \cdot 0.1 \text{ кг} \cdot (2 - 0) \text{°С} = 840$ Дж.

В процессе нагревания температура воды меняется, поэтому меняется и мощность теплопередачи. Можно использовать среднюю температуру воды за этот промежуток времени:

$T_{ср} = \frac{T_{1в} + T_{2в}}{2} = \frac{0 + 2}{2} = 1$ °С.

Тогда средняя мощность теплопередачи равна $P_1 \approx k(T_{комн} - T_{ср}) = k(T_{комн} - 1)$.

Полученное тепло можно выразить как $Q_1 = P_1 \cdot \Delta t_1$. Подставив значения, получим первое уравнение:

$840 = k(T_{комн} - 1) \cdot 900$ (1)

2. Плавление льда.

Количество теплоты, необходимое для плавления всей массы льда, равно:

$Q_2 = \lambda m = \lambda \cdot 0.1$

Во время плавления температура системы "лед-вода" остается постоянной и равной $T_{пл} = 0$ °С. Следовательно, мощность теплопередачи также постоянна:

$P_2 = k(T_{комн} - T_{пл}) = k(T_{комн} - 0) = k T_{комн}$.

Полученное тепло равно $Q_2 = P_2 \cdot \Delta t_2$. Подставив значения, получим второе уравнение:

$\lambda \cdot 0.1 = k T_{комн} \cdot 36000$ (2)

3. Оценка $\lambda$.

Мы получили систему из двух уравнений с тремя неизвестными: $\text{k}$, $T_{комн}$ и $\lambda$. Чтобы найти $\lambda$, разделим уравнение (2) на уравнение (1). Это позволит исключить неизвестный коэффициент $\text{k}$:

$\frac{\lambda \cdot 0.1}{840} = \frac{k T_{комн} \cdot 36000}{k(T_{комн} - 1) \cdot 900}$

Сократив $\text{k}$ и числовые множители, получим:

$\frac{0.1 \lambda}{840} = \frac{T_{комн}}{T_{комн} - 1} \cdot \frac{36000}{900} = 40 \frac{T_{комн}}{T_{комн} - 1}$

Выразим $\lambda$:

$0.1 \lambda = 840 \cdot 40 \cdot \frac{T_{комн}}{T_{комн} - 1}$

$\lambda = 336000 \cdot \frac{T_{комн}}{T_{комн} - 1}$ Дж/кг

Полученное выражение для $\lambda$ зависит от неизвестной комнатной температуры $T_{комн}$. Однако проанализируем эту зависимость. Множитель $\frac{T_{комн}}{T_{комн} - 1}$ можно переписать так:

$\frac{T_{комн}}{T_{комн} - 1} = \frac{T_{комн} - 1 + 1}{T_{комн} - 1} = 1 + \frac{1}{T_{комн} - 1}$

Поскольку вода в первом опыте нагрелась до 2 °С, комнатная температура очевидно выше 2 °С. Для любой типичной комнатной температуры (например, от 18 °С до 25 °С) величина $T_{комн} - 1$ будет значительно больше 1, а значит, дробь $\frac{1}{T_{комн} - 1}$ будет мала по сравнению с единицей.

Например:

- Если $T_{комн} = 20$ °С, то $\lambda = 336000 \cdot \frac{20}{19} \approx 353700 \text{ Дж/кг} \approx 3.54 \cdot 10^5$ Дж/кг.

- Если $T_{комн} = 25$ °С, то $\lambda = 336000 \cdot \frac{25}{24} = 350000 \text{ Дж/кг} = 3.50 \cdot 10^5$ Дж/кг.

Как видно, результат слабо зависит от точного значения комнатной температуры, если она находится в разумных пределах. Полученные значения близки к табличному значению удельной теплоты плавления льда ($\approx 3.34 \cdot 10^5$ Дж/кг). Небольшое расхождение может быть связано с приближенным характером модели (например, использованием средней температуры).

Таким образом, на основании предоставленных данных можно дать хорошую оценку удельной теплоты плавления льда.

Ответ: Да, по этим данным можно оценить удельную теплоту плавления льда $\lambda$. Расчет показывает, что $\lambda = 3.36 \cdot 10^5 \cdot \frac{T_{комн}}{T_{комн} - 1}$ Дж/кг. Поскольку для типичных комнатных температур $T_{комн}$ множитель $\frac{T_{комн}}{T_{комн} - 1}$ близок к 1, оценка $\lambda$ составит примерно $3.5 \cdot 10^5$ Дж/кг.